Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74534 / 76514
↖ ↑ ↗
← S 28.849485°
E 24.713745°		 ← 267.52 m → S 28.849485°
E 24.716492°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
S 28.851891°
E 24.713745°		 ← 267.51 m →
71 566 m²		 S 28.851891°
E 24.716492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568653106689453 y=0.583759307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568653106689453 × 217)
    floor (0.568653106689453 × 131072)
    floor (74534.5)     		tx = 74534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583759307861328 × 217)
    floor (0.583759307861328 × 131072)
    floor (76514.5)     		ty = 76514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74534 / 76514 ti = "17/74534/76514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74534/76514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74534 ÷ 217
    74534 ÷ 131072     		x = 0.568649291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76514 ÷ 217
    76514 ÷ 131072     		y = 0.583755493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568649291992188 × 2 - 1) × π
    0.137298583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43133622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583755493164062 × 2 - 1) × π
    -0.167510986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.526251284028976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43133622} λ = 0.43133622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526251284028976))-π/2
    2×atan(0.590815623496614)-π/2
    2×0.533638911272421-π/2
    1.06727782254484-1.57079632675     		φ = -0.50351850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43133622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.713745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50351850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.849485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74534 KachelY 76514 0.43133622 -0.50351850 24.713745 -28.849485
    Oben rechts KachelX + 1 74535 KachelY 76514 0.43138416 -0.50351850 24.716492 -28.849485
    Unten links KachelX 74534 KachelY + 1 76515 0.43133622 -0.50356049 24.713745 -28.851891
    Unten rechts KachelX + 1 74535 KachelY + 1 76515 0.43138416 -0.50356049 24.716492 -28.851891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50351850--0.50356049) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dl = 267.518290000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50351850--0.50356049) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dr = 267.518290000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43133622-0.43138416) × cos(-0.50351850) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875890274452065 × 6371000     		do = 267.519435233459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43133622-0.43138416) × cos(-0.50356049) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875870013070774 × 6371000     		du = 267.513246886085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50351850)-sin(-0.50356049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875890274452065-0.875870013070774)×R²
    abs(0.43138416-0.43133622)×2.02613812907426e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02613812907426e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02613812907426e-05×40589641000000     		ar = 71565.5141179115m²