Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74531 / 53605
↖ ↑ ↗
← N 31.116443°
E 24.705505°		 ← 261.48 m → N 31.116443°
E 24.708252°		 →
↑
261.47 m
↓
↑
261.47 m
↓
N 31.114091°
E 24.705505°		 ← 261.49 m →
68 369 m²		 N 31.114091°
E 24.708252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568630218505859 y=0.408977508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568630218505859 × 217)
    floor (0.568630218505859 × 131072)
    floor (74531.5)     		tx = 74531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408977508544922 × 217)
    floor (0.408977508544922 × 131072)
    floor (53605.5)     		ty = 53605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74531 / 53605 ti = "17/74531/53605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74531/53605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74531 ÷ 217
    74531 ÷ 131072     		x = 0.568626403808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53605 ÷ 217
    53605 ÷ 131072     		y = 0.408973693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568626403808594 × 2 - 1) × π
    0.137252807617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.43119241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408973693847656 × 2 - 1) × π
    0.182052612304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.57193514936689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43119241} λ = 0.43119241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57193514936689))-π/2
    2×atan(1.77169222534149)-π/2
    2×1.05694035453443-π/2
    2.11388070906886-1.57079632675     		φ = 0.54308438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43119241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.705505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54308438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.116443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74531 KachelY 53605 0.43119241 0.54308438 24.705505 31.116443
    Oben rechts KachelX + 1 74532 KachelY 53605 0.43124035 0.54308438 24.708252 31.116443
    Unten links KachelX 74531 KachelY + 1 53606 0.43119241 0.54304334 24.705505 31.114091
    Unten rechts KachelX + 1 74532 KachelY + 1 53606 0.43124035 0.54304334 24.708252 31.114091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54308438-0.54304334) × R
    4.10400000000477e-05 × 6371000     		dl = 261.465840000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54308438-0.54304334) × R
    4.10400000000477e-05 × 6371000     		dr = 261.465840000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43119241-0.43124035) × cos(0.54308438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.856118813248621 × 6371000     		do = 261.480722064211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43119241-0.43124035) × cos(0.54304334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.856140021139501 × 6371000     		du = 261.487199499976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54308438)-sin(0.54304334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856118813248621-0.856140021139501)×R²
    abs(0.43124035-0.43119241)×2.12078908794489e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12078908794489e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12078908794489e-05×40589641000000     		ar = 68369.1234621516m²