Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74530 / 77582
↖ ↑ ↗
← S 31.386468°
E 24.702759°		 ← 260.68 m → S 31.386468°
E 24.705505°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
S 31.388813°
E 24.702759°		 ← 260.67 m →
67 959 m²		 S 31.388813°
E 24.705505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568622589111328 y=0.591907501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568622589111328 × 217)
    floor (0.568622589111328 × 131072)
    floor (74530.5)     		tx = 74530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591907501220703 × 217)
    floor (0.591907501220703 × 131072)
    floor (77582.5)     		ty = 77582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74530 / 77582 ti = "17/74530/77582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74530/77582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74530 ÷ 217
    74530 ÷ 131072     		x = 0.568618774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77582 ÷ 217
    77582 ÷ 131072     		y = 0.591903686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568618774414062 × 2 - 1) × π
    0.137237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43114448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591903686523438 × 2 - 1) × π
    -0.183807373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.577447892823196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43114448} λ = 0.43114448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.577447892823196))-π/2
    2×atan(0.561329112136447)-π/2
    2×0.511499557466373-π/2
    1.02299911493275-1.57079632675     		φ = -0.54779721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43114448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.702759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54779721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.386468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74530 KachelY 77582 0.43114448 -0.54779721 24.702759 -31.386468
    Oben rechts KachelX + 1 74531 KachelY 77582 0.43119241 -0.54779721 24.705505 -31.386468
    Unten links KachelX 74530 KachelY + 1 77583 0.43114448 -0.54783813 24.702759 -31.388813
    Unten rechts KachelX + 1 74531 KachelY + 1 77583 0.43119241 -0.54783813 24.705505 -31.388813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54779721--0.54783813) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54779721--0.54783813) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43114448-0.43119241) × cos(-0.54779721) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.853673822984772 × 6371000     		do = 260.67957154465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43114448-0.43119241) × cos(-0.54783813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.853652510805482 × 6371000     		du = 260.673063614318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54779721)-sin(-0.54783813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853673822984772-0.853652510805482)×R²
    abs(0.43119241-0.43114448)×2.13121792908e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13121792908e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13121792908e-05×40589641000000     		ar = 67958.660095277m²