Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74530 / 76529
↖ ↑ ↗
← S 28.885565°
E 24.702759°		 ← 267.37 m → S 28.885565°
E 24.705505°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
S 28.887969°
E 24.702759°		 ← 267.36 m →
71 492 m²		 S 28.887969°
E 24.705505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568622589111328 y=0.583873748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568622589111328 × 217)
    floor (0.568622589111328 × 131072)
    floor (74530.5)     		tx = 74530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583873748779297 × 217)
    floor (0.583873748779297 × 131072)
    floor (76529.5)     		ty = 76529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74530 / 76529 ti = "17/74530/76529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74530/76529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74530 ÷ 217
    74530 ÷ 131072     		x = 0.568618774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76529 ÷ 217
    76529 ÷ 131072     		y = 0.583869934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568618774414062 × 2 - 1) × π
    0.137237548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43114448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583869934082031 × 2 - 1) × π
    -0.167739868164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.526970337523277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43114448} λ = 0.43114448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526970337523277))-π/2
    2×atan(0.590390948158492)-π/2
    2×0.533324059934849-π/2
    1.0666481198697-1.57079632675     		φ = -0.50414821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43114448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.702759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50414821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.885565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74530 KachelY 76529 0.43114448 -0.50414821 24.702759 -28.885565
    Oben rechts KachelX + 1 74531 KachelY 76529 0.43119241 -0.50414821 24.705505 -28.885565
    Unten links KachelX 74530 KachelY + 1 76530 0.43114448 -0.50419018 24.702759 -28.887969
    Unten rechts KachelX + 1 74531 KachelY + 1 76530 0.43119241 -0.50419018 24.705505 -28.887969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50414821--0.50419018) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dl = 267.390870000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50414821--0.50419018) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dr = 267.390870000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43114448-0.43119241) × cos(-0.50414821) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.875586259226222 × 6371000     		do = 267.370797557589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43114448-0.43119241) × cos(-0.50419018) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.875565984351316 × 6371000     		du = 267.36460638063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50414821)-sin(-0.50419018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875586259226222-0.875565984351316)×R²
    abs(0.43119241-0.43114448)×2.02748749057458e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.02748749057458e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.02748749057458e-05×40589641000000     		ar = 71491.6824500405m²