Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7453 / 7331
↖ ↑ ↗
← S 80.437633°
E147.524414°		 ← 811.75 m → S 80.437633°
E147.568359°		 →
↑
811.41 m
↓
↑
811.41 m
↓
S 80.444930°
E147.524414°		 ← 811.14 m →
658 413 m²		 S 80.444930°
E147.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90985107421875 y=0.89495849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90985107421875 × 213)
    floor (0.90985107421875 × 8192)
    floor (7453.5)     		tx = 7453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89495849609375 × 213)
    floor (0.89495849609375 × 8192)
    floor (7331.5)     		ty = 7331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7453 / 7331 ti = "13/7453/7331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7453/7331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7453 ÷ 213
    7453 ÷ 8192     		x = 0.9097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7331 ÷ 213
    7331 ÷ 8192     		y = 0.8948974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9097900390625 × 2 - 1) × π
    0.819580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57478675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8948974609375 × 2 - 1) × π
    -0.789794921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48121392433411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57478675} λ = 2.57478675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48121392433411))-π/2
    2×atan(0.0836416293303964)-π/2
    2×0.0834473938851843-π/2
    0.166894787770369-1.57079632675     		φ = -1.40390154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57478675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.524414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40390154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.437633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7453 KachelY 7331 2.57478675 -1.40390154 147.524414 -80.437633
    Oben rechts KachelX + 1 7454 KachelY 7331 2.57555374 -1.40390154 147.568359 -80.437633
    Unten links KachelX 7453 KachelY + 1 7332 2.57478675 -1.40402890 147.524414 -80.444930
    Unten rechts KachelX + 1 7454 KachelY + 1 7332 2.57555374 -1.40402890 147.568359 -80.444930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40390154--1.40402890) × R
    0.000127360000000021 × 6371000     		dl = 811.410560000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40390154--1.40402890) × R
    0.000127360000000021 × 6371000     		dr = 811.410560000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57478675-2.57555374) × cos(-1.40390154) × R
    0.000766990000000245 × 0.166121087495384 × 6371000     		do = 811.749579373956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57478675-2.57555374) × cos(-1.40402890) × R
    0.000766990000000245 × 0.165995495769574 × 6371000     		du = 811.135876248504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40390154)-sin(-1.40402890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166121087495384-0.165995495769574)×R²
    abs(2.57555374-2.57478675)×0.000125591725810503×R²
    0.000766990000000245×0.000125591725810503×6371000²
    0.000766990000000245×0.000125591725810503×40589641000000     		ar = 658413.199072441m²