Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7453 / 10659
↖ ↑ ↗
← S 47.561701°
W 16.237793°		 ← 1 648.67 m → S 47.561701°
W 16.215821°		 →
↑
1 648.43 m
↓
↑
1 648.43 m
↓
S 47.576526°
W 16.237793°		 ← 1 648.20 m →
2 717 339 m²		 S 47.576526°
W 16.215821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454925537109375 y=0.650604248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454925537109375 × 214)
    floor (0.454925537109375 × 16384)
    floor (7453.5)     		tx = 7453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650604248046875 × 214)
    floor (0.650604248046875 × 16384)
    floor (10659.5)     		ty = 10659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7453 / 10659 ti = "14/7453/10659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7453/10659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7453 ÷ 214
    7453 ÷ 16384     		x = 0.45489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10659 ÷ 214
    10659 ÷ 16384     		y = 0.65057373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28340295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65057373046875 × 2 - 1) × π
    -0.3011474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.946082650901428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28340295} λ = -0.28340295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946082650901428))-π/2
    2×atan(0.388258994323836)-π/2
    2×0.370344025399252-π/2
    0.740688050798503-1.57079632675     		φ = -0.83010828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28340295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.237793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83010828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.561701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7453 KachelY 10659 -0.28340295 -0.83010828 -16.237793 -47.561701
    Oben rechts KachelX + 1 7454 KachelY 10659 -0.28301946 -0.83010828 -16.215821 -47.561701
    Unten links KachelX 7453 KachelY + 1 10660 -0.28340295 -0.83036702 -16.237793 -47.576526
    Unten rechts KachelX + 1 7454 KachelY + 1 10660 -0.28301946 -0.83036702 -16.215821 -47.576526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83010828--0.83036702) × R
    0.000258739999999924 × 6371000     		dl = 1648.43253999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83010828--0.83036702) × R
    0.000258739999999924 × 6371000     		dr = 1648.43253999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28340295--0.28301946) × cos(-0.83010828) × R
    0.000383489999999986 × 0.674795852906249 × 6371000     		do = 1648.67120805115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28340295--0.28301946) × cos(-0.83036702) × R
    0.000383489999999986 × 0.674604879051399 × 6371000     		du = 1648.20461790448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83010828)-sin(-0.83036702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674795852906249-0.674604879051399)×R²
    abs(-0.28301946--0.28340295)×0.00019097385485034×R²
    0.000383489999999986×0.00019097385485034×6371000²
    0.000383489999999986×0.00019097385485034×40589641000000     		ar = 2717338.71108106m²