Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74529 / 77852
↖ ↑ ↗
← S 32.017392°
E 24.700012°		 ← 258.97 m → S 32.017392°
E 24.702759°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
S 32.019721°
E 24.700012°		 ← 258.96 m →
67 067 m²		 S 32.019721°
E 24.702759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568614959716797 y=0.593967437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568614959716797 × 217)
    floor (0.568614959716797 × 131072)
    floor (74529.5)     		tx = 74529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593967437744141 × 217)
    floor (0.593967437744141 × 131072)
    floor (77852.5)     		ty = 77852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74529 / 77852 ti = "17/74529/77852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74529/77852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74529 ÷ 217
    74529 ÷ 131072     		x = 0.568611145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77852 ÷ 217
    77852 ÷ 131072     		y = 0.593963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568611145019531 × 2 - 1) × π
    0.137222290039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43109654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.18792724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.590390855720612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43109654} λ = 0.43109654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590390855720612))-π/2
    2×atan(0.554110665080451)-π/2
    2×0.505993712746125-π/2
    1.01198742549225-1.57079632675     		φ = -0.55880890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43109654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.700012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55880890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.017392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74529 KachelY 77852 0.43109654 -0.55880890 24.700012 -32.017392
    Oben rechts KachelX + 1 74530 KachelY 77852 0.43114448 -0.55880890 24.702759 -32.017392
    Unten links KachelX 74529 KachelY + 1 77853 0.43109654 -0.55884955 24.700012 -32.019721
    Unten rechts KachelX + 1 74530 KachelY + 1 77853 0.43114448 -0.55884955 24.702759 -32.019721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55880890--0.55884955) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dl = 258.981149999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55880890--0.55884955) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dr = 258.981149999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43109654-0.43114448) × cos(-0.55880890) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.847887205735677 × 6371000     		do = 258.966577248481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43109654-0.43114448) × cos(-0.55884955) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.847865653354091 × 6371000     		du = 258.959994596387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55880890)-sin(-0.55884955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847887205735677-0.847865653354091)×R²
    abs(0.43114448-0.43109654)×2.15523815860763e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15523815860763e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15523815860763e-05×40589641000000     		ar = 67066.6096052244m²