Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74529 / 55138
↖ ↑ ↗
← N 27.444916°
E 24.700012°		 ← 271.05 m → N 27.444916°
E 24.702759°		 →
↑
271.02 m
↓
↑
271.02 m
↓
N 27.442478°
E 24.700012°		 ← 271.06 m →
73 462 m²		 N 27.442478°
E 24.702759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568614959716797 y=0.420673370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568614959716797 × 217)
    floor (0.568614959716797 × 131072)
    floor (74529.5)     		tx = 74529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420673370361328 × 217)
    floor (0.420673370361328 × 131072)
    floor (55138.5)     		ty = 55138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74529 / 55138 ti = "17/74529/55138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74529/55138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74529 ÷ 217
    74529 ÷ 131072     		x = 0.568611145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55138 ÷ 217
    55138 ÷ 131072     		y = 0.420669555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568611145019531 × 2 - 1) × π
    0.137222290039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.43109654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420669555664062 × 2 - 1) × π
    0.158660888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.498447882249344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43109654} λ = 0.43109654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498447882249344))-π/2
    2×atan(1.64616424606499)-π/2
    2×1.02490023263936-π/2
    2.04980046527871-1.57079632675     		φ = 0.47900414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43109654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.700012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47900414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.444916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74529 KachelY 55138 0.43109654 0.47900414 24.700012 27.444916
    Oben rechts KachelX + 1 74530 KachelY 55138 0.43114448 0.47900414 24.702759 27.444916
    Unten links KachelX 74529 KachelY + 1 55139 0.43109654 0.47896160 24.700012 27.442478
    Unten rechts KachelX + 1 74530 KachelY + 1 55139 0.43114448 0.47896160 24.702759 27.442478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47900414-0.47896160) × R
    4.25400000000353e-05 × 6371000     		dl = 271.022340000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47900414-0.47896160) × R
    4.25400000000353e-05 × 6371000     		dr = 271.022340000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43109654-0.43114448) × cos(0.47900414) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.88745435028016 × 6371000     		do = 271.051401650673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43109654-0.43114448) × cos(0.47896160) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.887473955977005 × 6371000     		du = 271.05738973514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47900414)-sin(0.47896160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88745435028016-0.887473955977005)×R²
    abs(0.43114448-0.43109654)×1.96056968450042e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.96056968450042e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.96056968450042e-05×40589641000000     		ar = 73461.7965991499m²