Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74528 / 77696
↖ ↑ ↗
← S 31.653381°
E 24.697266°		 ← 259.99 m → S 31.653381°
E 24.700012°		 →
↑
260 m
↓
↑
260 m
↓
S 31.655719°
E 24.697266°		 ← 259.98 m →
67 597 m²		 S 31.655719°
E 24.700012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568607330322266 y=0.592777252197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568607330322266 × 217)
    floor (0.568607330322266 × 131072)
    floor (74528.5)     		tx = 74528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592777252197266 × 217)
    floor (0.592777252197266 × 131072)
    floor (77696.5)     		ty = 77696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74528 / 77696 ti = "17/74528/77696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74528/77696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74528 ÷ 217
    74528 ÷ 131072     		x = 0.568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77696 ÷ 217
    77696 ÷ 131072     		y = 0.5927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568603515625 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43104860} λ = 0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582912699379883))-π/2
    2×atan(0.558269923673894)-π/2
    2×0.509170300997706-π/2
    1.01834060199541-1.57079632675     		φ = -0.55245572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55245572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.653381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74528 KachelY 77696 0.43104860 -0.55245572 24.697266 -31.653381
    Oben rechts KachelX + 1 74529 KachelY 77696 0.43109654 -0.55245572 24.700012 -31.653381
    Unten links KachelX 74528 KachelY + 1 77697 0.43104860 -0.55249653 24.697266 -31.655719
    Unten rechts KachelX + 1 74529 KachelY + 1 77697 0.43109654 -0.55249653 24.700012 -31.655719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55245572--0.55249653) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dl = 260.000510000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55245572--0.55249653) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dr = 260.000510000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43104860-0.43109654) × cos(-0.55245572) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.851238379268632 × 6371000     		do = 259.990111904352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43104860-0.43109654) × cos(-0.55249653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.851216962320134 × 6371000     		du = 259.983570617009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55245572)-sin(-0.55249653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851238379268632-0.851216962320134)×R²
    abs(0.43109654-0.43104860)×2.14169484979987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14169484979987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14169484979987e-05×40589641000000     		ar = 67596.7113304033m²