Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74528 / 53540
↖ ↑ ↗
← N 31.269161°
E 24.697266°		 ← 261.06 m → N 31.269161°
E 24.700012°		 →
↑
261.02 m
↓
↑
261.02 m
↓
N 31.266813°
E 24.697266°		 ← 261.07 m →
68 142 m²		 N 31.266813°
E 24.700012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568607330322266 y=0.408481597900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568607330322266 × 217)
    floor (0.568607330322266 × 131072)
    floor (74528.5)     		tx = 74528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408481597900391 × 217)
    floor (0.408481597900391 × 131072)
    floor (53540.5)     		ty = 53540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74528 / 53540 ti = "17/74528/53540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74528/53540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74528 ÷ 217
    74528 ÷ 131072     		x = 0.568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53540 ÷ 217
    53540 ÷ 131072     		y = 0.408477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568603515625 × 2 - 1) × π
    0.13720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43104860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408477783203125 × 2 - 1) × π
    0.18304443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.575051047842194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43104860} λ = 0.43104860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.575051047842194))-π/2
    2×atan(1.77722124790827)-π/2
    2×1.05827306932776-π/2
    2.11654613865552-1.57079632675     		φ = 0.54574981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43104860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.697266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54574981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.269161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74528 KachelY 53540 0.43104860 0.54574981 24.697266 31.269161
    Oben rechts KachelX + 1 74529 KachelY 53540 0.43109654 0.54574981 24.700012 31.269161
    Unten links KachelX 74528 KachelY + 1 53541 0.43104860 0.54570884 24.697266 31.266813
    Unten rechts KachelX + 1 74529 KachelY + 1 53541 0.43109654 0.54570884 24.700012 31.266813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54574981-0.54570884) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dl = 261.019870000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54574981-0.54570884) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dr = 261.019870000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43104860-0.43109654) × cos(0.54574981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854738335365814 × 6371000     		do = 261.059088585301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43104860-0.43109654) × cos(0.54570884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854759600500914 × 6371000     		du = 261.065583504925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54574981)-sin(0.54570884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854738335365814-0.854759600500914)×R²
    abs(0.43109654-0.43104860)×2.12651350995907e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12651350995907e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12651350995907e-05×40589641000000     		ar = 68142.4570260371m²