Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74527 / 77695
↖ ↑ ↗
← S 31.651043°
E 24.694519°		 ← 260 m → S 31.651043°
E 24.697266°		 →
↑
259.94 m
↓
↑
259.94 m
↓
S 31.653381°
E 24.694519°		 ← 259.99 m →
67 582 m²		 S 31.653381°
E 24.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568599700927734 y=0.592769622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568599700927734 × 217)
    floor (0.568599700927734 × 131072)
    floor (74527.5)     		tx = 74527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592769622802734 × 217)
    floor (0.592769622802734 × 131072)
    floor (77695.5)     		ty = 77695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74527 / 77695 ti = "17/74527/77695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74527/77695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74527 ÷ 217
    74527 ÷ 131072     		x = 0.568595886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77695 ÷ 217
    77695 ÷ 131072     		y = 0.592765808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568595886230469 × 2 - 1) × π
    0.137191772460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.43100066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592765808105469 × 2 - 1) × π
    -0.185531616210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.582864762480263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43100066} λ = 0.43100066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582864762480263))-π/2
    2×atan(0.558296686044633)-π/2
    2×0.509190704118642-π/2
    1.01838140823728-1.57079632675     		φ = -0.55241492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43100066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.694519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55241492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.651043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74527 KachelY 77695 0.43100066 -0.55241492 24.694519 -31.651043
    Oben rechts KachelX + 1 74528 KachelY 77695 0.43104860 -0.55241492 24.697266 -31.651043
    Unten links KachelX 74527 KachelY + 1 77696 0.43100066 -0.55245572 24.694519 -31.653381
    Unten rechts KachelX + 1 74528 KachelY + 1 77696 0.43104860 -0.55245572 24.697266 -31.653381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55241492--0.55245572) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dl = 259.936799999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55241492--0.55245572) × R
    4.0799999999952e-05 × 6371000     		dr = 259.936799999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43100066-0.43104860) × cos(-0.55241492) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851259789551985 × 6371000     		do = 259.99665115629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43100066-0.43104860) × cos(-0.55245572) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.851238379268632 × 6371000     		du = 259.990111904653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55241492)-sin(-0.55245572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851259789551985-0.851238379268632)×R²
    abs(0.43104860-0.43100066)×2.14102833531182e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14102833531182e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14102833531182e-05×40589641000000     		ar = 67581.8476255126m²