Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74526 / 77693
↖ ↑ ↗
← S 31.646367°
E 24.691773°		 ← 259.96 m → S 31.646367°
E 24.694519°		 →
↑
260 m
↓
↑
260 m
↓
S 31.648705°
E 24.691773°		 ← 259.95 m →
67 588 m²		 S 31.648705°
E 24.694519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568592071533203 y=0.592754364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568592071533203 × 217)
    floor (0.568592071533203 × 131072)
    floor (74526.5)     		tx = 74526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592754364013672 × 217)
    floor (0.592754364013672 × 131072)
    floor (77693.5)     		ty = 77693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74526 / 77693 ti = "17/74526/77693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74526/77693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74526 ÷ 217
    74526 ÷ 131072     		x = 0.568588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77693 ÷ 217
    77693 ÷ 131072     		y = 0.592750549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568588256835938 × 2 - 1) × π
    0.137176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43095273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592750549316406 × 2 - 1) × π
    -0.185501098632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.582768888681023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43095273} λ = 0.43095273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582768888681023))-π/2
    2×atan(0.558350214634981)-π/2
    2×0.509231511900211-π/2
    1.01846302380042-1.57079632675     		φ = -0.55233330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43095273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.691773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55233330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.646367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74526 KachelY 77693 0.43095273 -0.55233330 24.691773 -31.646367
    Oben rechts KachelX + 1 74527 KachelY 77693 0.43100066 -0.55233330 24.694519 -31.646367
    Unten links KachelX 74526 KachelY + 1 77694 0.43095273 -0.55237411 24.691773 -31.648705
    Unten rechts KachelX + 1 74527 KachelY + 1 77694 0.43100066 -0.55237411 24.694519 -31.648705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55233330--0.55237411) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dl = 260.000510000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55233330--0.55237411) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dr = 260.000510000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43095273-0.43100066) × cos(-0.55233330) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851302616361032 × 6371000     		do = 259.955495076174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43095273-0.43100066) × cos(-0.55237411) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.851281203665394 × 6371000     		du = 259.948956451966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55233330)-sin(-0.55237411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851302616361032-0.851281203665394)×R²
    abs(0.43100066-0.43095273)×2.14126956380456e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14126956380456e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14126956380456e-05×40589641000000     		ar = 67587.7112835708m²