Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74526 / 76542
↖ ↑ ↗
← S 28.916823°
E 24.691773°		 ← 267.29 m → S 28.916823°
E 24.694519°		 →
↑
267.33 m
↓
↑
267.33 m
↓
S 28.919227°
E 24.691773°		 ← 267.28 m →
71 453 m²		 S 28.919227°
E 24.694519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568592071533203 y=0.583972930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568592071533203 × 217)
    floor (0.568592071533203 × 131072)
    floor (74526.5)     		tx = 74526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583972930908203 × 217)
    floor (0.583972930908203 × 131072)
    floor (76542.5)     		ty = 76542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74526 / 76542 ti = "17/74526/76542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74526/76542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74526 ÷ 217
    74526 ÷ 131072     		x = 0.568588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76542 ÷ 217
    76542 ÷ 131072     		y = 0.583969116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568588256835938 × 2 - 1) × π
    0.137176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43095273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583969116210938 × 2 - 1) × π
    -0.167938232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.527593517218338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43095273} λ = 0.43095273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527593517218338))-π/2
    2×atan(0.59002314312367)-π/2
    2×0.533051277219446-π/2
    1.06610255443889-1.57079632675     		φ = -0.50469377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43095273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.691773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50469377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.916823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74526 KachelY 76542 0.43095273 -0.50469377 24.691773 -28.916823
    Oben rechts KachelX + 1 74527 KachelY 76542 0.43100066 -0.50469377 24.694519 -28.916823
    Unten links KachelX 74526 KachelY + 1 76543 0.43095273 -0.50473573 24.691773 -28.919227
    Unten rechts KachelX + 1 74527 KachelY + 1 76543 0.43100066 -0.50473573 24.694519 -28.919227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50469377--0.50473573) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dl = 267.327160000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50469377--0.50473573) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dr = 267.327160000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43095273-0.43100066) × cos(-0.50469377) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.8753225897408 × 6371000     		do = 267.290282907962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43095273-0.43100066) × cos(-0.50473573) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.875302299656473 × 6371000     		du = 267.284087086623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50469377)-sin(-0.50473573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8753225897408-0.875302299656473)×R²
    abs(0.43100066-0.43095273)×2.02900843268017e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.02900843268017e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.02900843268017e-05×40589641000000     		ar = 71453.1240802328m²