Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74526 / 54013
↖ ↑ ↗
← N 30.152252°
E 24.691773°		 ← 264.04 m → N 30.152252°
E 24.694519°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
N 30.149877°
E 24.691773°		 ← 264.05 m →
69 729 m²		 N 30.149877°
E 24.694519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568592071533203 y=0.412090301513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568592071533203 × 217)
    floor (0.568592071533203 × 131072)
    floor (74526.5)     		tx = 74526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412090301513672 × 217)
    floor (0.412090301513672 × 131072)
    floor (54013.5)     		ty = 54013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74526 / 54013 ti = "17/74526/54013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74526/54013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74526 ÷ 217
    74526 ÷ 131072     		x = 0.568588256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54013 ÷ 217
    54013 ÷ 131072     		y = 0.412086486816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568588256835938 × 2 - 1) × π
    0.137176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43095273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412086486816406 × 2 - 1) × π
    0.175827026367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.552376894321907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43095273} λ = 0.43095273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552376894321907))-π/2
    2×atan(1.73737767712167)-π/2
    2×1.04852620312972-π/2
    2.09705240625944-1.57079632675     		φ = 0.52625608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43095273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.691773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52625608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.152252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74526 KachelY 54013 0.43095273 0.52625608 24.691773 30.152252
    Oben rechts KachelX + 1 74527 KachelY 54013 0.43100066 0.52625608 24.694519 30.152252
    Unten links KachelX 74526 KachelY + 1 54014 0.43095273 0.52621463 24.691773 30.149877
    Unten rechts KachelX + 1 74527 KachelY + 1 54014 0.43100066 0.52621463 24.694519 30.149877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52625608-0.52621463) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dl = 264.07794999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52625608-0.52621463) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dr = 264.07794999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43095273-0.43100066) × cos(0.52625608) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.864693695530883 × 6371000     		do = 264.044622195368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43095273-0.43100066) × cos(0.52621463) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.864714515103376 × 6371000     		du = 264.050979702288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52625608)-sin(0.52621463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864693695530883-0.864714515103376)×R²
    abs(0.43100066-0.43095273)×2.08195724928917e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.08195724928917e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.08195724928917e-05×40589641000000     		ar = 69729.2019864705m²