Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74525 / 76499
↖ ↑ ↗
← S 28.813393°
E 24.689026°		 ← 267.61 m → S 28.813393°
E 24.691773°		 →
↑
267.58 m
↓
↑
267.58 m
↓
S 28.815800°
E 24.689026°		 ← 267.61 m →
71 607 m²		 S 28.815800°
E 24.691773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568584442138672 y=0.583644866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568584442138672 × 217)
    floor (0.568584442138672 × 131072)
    floor (74525.5)     		tx = 74525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583644866943359 × 217)
    floor (0.583644866943359 × 131072)
    floor (76499.5)     		ty = 76499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74525 / 76499 ti = "17/74525/76499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74525/76499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74525 ÷ 217
    74525 ÷ 131072     		x = 0.568580627441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76499 ÷ 217
    76499 ÷ 131072     		y = 0.583641052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568580627441406 × 2 - 1) × π
    0.137161254882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43090479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583641052246094 × 2 - 1) × π
    -0.167282104492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.525532230534676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43090479} λ = 0.43090479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525532230534676))-π/2
    2×atan(0.591240604308835)-π/2
    2×0.533953871866842-π/2
    1.06790774373368-1.57079632675     		φ = -0.50288858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43090479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.689026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50288858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.813393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74525 KachelY 76499 0.43090479 -0.50288858 24.689026 -28.813393
    Oben rechts KachelX + 1 74526 KachelY 76499 0.43095273 -0.50288858 24.691773 -28.813393
    Unten links KachelX 74525 KachelY + 1 76500 0.43090479 -0.50293058 24.689026 -28.815800
    Unten rechts KachelX + 1 74526 KachelY + 1 76500 0.43095273 -0.50293058 24.691773 -28.815800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50288858--0.50293058) × R
    4.19999999999865e-05 × 6371000     		dl = 267.581999999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50288858--0.50293058) × R
    4.19999999999865e-05 × 6371000     		dr = 267.581999999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43090479-0.43095273) × cos(-0.50288858) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87619404356835 × 6371000     		do = 267.61221414059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43090479-0.43095273) × cos(-0.50293058) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876173800538453 × 6371000     		du = 267.606031398204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50288858)-sin(-0.50293058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87619404356835-0.876173800538453)×R²
    abs(0.43095273-0.43090479)×2.02430298971157e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02430298971157e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02430298971157e-05×40589641000000     		ar = 71607.3842993826m²