Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74525 / 53533
↖ ↑ ↗
← N 31.285593°
E 24.689026°		 ← 261.01 m → N 31.285593°
E 24.691773°		 →
↑
261.02 m
↓
↑
261.02 m
↓
N 31.283245°
E 24.689026°		 ← 261.02 m →
68 131 m²		 N 31.283245°
E 24.691773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568584442138672 y=0.408428192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568584442138672 × 217)
    floor (0.568584442138672 × 131072)
    floor (74525.5)     		tx = 74525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408428192138672 × 217)
    floor (0.408428192138672 × 131072)
    floor (53533.5)     		ty = 53533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74525 / 53533 ti = "17/74525/53533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74525/53533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74525 ÷ 217
    74525 ÷ 131072     		x = 0.568580627441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53533 ÷ 217
    53533 ÷ 131072     		y = 0.408424377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568580627441406 × 2 - 1) × π
    0.137161254882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.43090479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408424377441406 × 2 - 1) × π
    0.183151245117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.575386606139534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43090479} λ = 0.43090479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.575386606139534))-π/2
    2×atan(1.7778177093124)-π/2
    2×1.05841646410765-π/2
    2.1168329282153-1.57079632675     		φ = 0.54603660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43090479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.689026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54603660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.285593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74525 KachelY 53533 0.43090479 0.54603660 24.689026 31.285593
    Oben rechts KachelX + 1 74526 KachelY 53533 0.43095273 0.54603660 24.691773 31.285593
    Unten links KachelX 74525 KachelY + 1 53534 0.43090479 0.54599563 24.689026 31.283245
    Unten rechts KachelX + 1 74526 KachelY + 1 53534 0.43095273 0.54599563 24.691773 31.283245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54603660-0.54599563) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dl = 261.019870000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54603660-0.54599563) × R
    4.0970000000029e-05 × 6371000     		dr = 261.019870000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43090479-0.43095273) × cos(0.54603660) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854589439250145 × 6371000     		do = 261.013611879292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43090479-0.43095273) × cos(0.54599563) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854610714427488 × 6371000     		du = 261.020109866075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54603660)-sin(0.54599563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854589439250145-0.854610714427488)×R²
    abs(0.43095273-0.43090479)×2.12751773426278e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12751773426278e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12751773426278e-05×40589641000000     		ar = 68130.5871022765m²