Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74524 / 54010
↖ ↑ ↗
← N 30.159377°
E 24.686279°		 ← 264.08 m → N 30.159377°
E 24.689026°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
N 30.157002°
E 24.686279°		 ← 264.09 m →
69 739 m²		 N 30.157002°
E 24.689026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568576812744141 y=0.412067413330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568576812744141 × 217)
    floor (0.568576812744141 × 131072)
    floor (74524.5)     		tx = 74524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412067413330078 × 217)
    floor (0.412067413330078 × 131072)
    floor (54010.5)     		ty = 54010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74524 / 54010 ti = "17/74524/54010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74524/54010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74524 ÷ 217
    74524 ÷ 131072     		x = 0.568572998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54010 ÷ 217
    54010 ÷ 131072     		y = 0.412063598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568572998046875 × 2 - 1) × π
    0.13714599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43085685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412063598632812 × 2 - 1) × π
    0.175872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.552520705020767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43085685} λ = 0.43085685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552520705020767))-π/2
    2×atan(1.73762754858627)-π/2
    2×1.04858837698628-π/2
    2.09717675397257-1.57079632675     		φ = 0.52638043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43085685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.686279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52638043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.159377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74524 KachelY 54010 0.43085685 0.52638043 24.686279 30.159377
    Oben rechts KachelX + 1 74525 KachelY 54010 0.43090479 0.52638043 24.689026 30.159377
    Unten links KachelX 74524 KachelY + 1 54011 0.43085685 0.52633898 24.686279 30.157002
    Unten rechts KachelX + 1 74525 KachelY + 1 54011 0.43090479 0.52633898 24.689026 30.157002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52638043-0.52633898) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dl = 264.07794999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52638043-0.52633898) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dr = 264.07794999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43085685-0.43090479) × cos(0.52638043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.864631227899752 × 6371000     		do = 264.080632608217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43085685-0.43090479) × cos(0.52633898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.864652051929035 × 6371000     		du = 264.086992802771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52638043)-sin(0.52633898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864631227899752-0.864652051929035)×R²
    abs(0.43090479-0.43085685)×2.08240292829398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08240292829398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08240292829398e-05×40589641000000     		ar = 69738.7118972917m²