Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74522 / 76506
↖ ↑ ↗
← S 28.830238°
E 24.680786°		 ← 267.57 m → S 28.830238°
E 24.683533°		 →
↑
267.58 m
↓
↑
267.58 m
↓
S 28.832644°
E 24.680786°		 ← 267.56 m →
71 596 m²		 S 28.832644°
E 24.683533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568561553955078 y=0.583698272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568561553955078 × 217)
    floor (0.568561553955078 × 131072)
    floor (74522.5)     		tx = 74522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583698272705078 × 217)
    floor (0.583698272705078 × 131072)
    floor (76506.5)     		ty = 76506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74522 / 76506 ti = "17/74522/76506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74522/76506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74522 ÷ 217
    74522 ÷ 131072     		x = 0.568557739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76506 ÷ 217
    76506 ÷ 131072     		y = 0.583694458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568557739257812 × 2 - 1) × π
    0.137115478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43076098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583694458007812 × 2 - 1) × π
    -0.167388916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.525867788832016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43076098} λ = 0.43076098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525867788832016))-π/2
    2×atan(0.591042241901272)-π/2
    2×0.53380687666524-π/2
    1.06761375333048-1.57079632675     		φ = -0.50318257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43076098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.680786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50318257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.830238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74522 KachelY 76506 0.43076098 -0.50318257 24.680786 -28.830238
    Oben rechts KachelX + 1 74523 KachelY 76506 0.43080892 -0.50318257 24.683533 -28.830238
    Unten links KachelX 74522 KachelY + 1 76507 0.43076098 -0.50322457 24.680786 -28.832644
    Unten rechts KachelX + 1 74523 KachelY + 1 76507 0.43080892 -0.50322457 24.683533 -28.832644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50318257--0.50322457) × R
    4.19999999999865e-05 × 6371000     		dl = 267.581999999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50318257--0.50322457) × R
    4.19999999999865e-05 × 6371000     		dr = 267.581999999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43076098-0.43080892) × cos(-0.50318257) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876052314725499 × 6371000     		do = 267.568926503573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43076098-0.43080892) × cos(-0.50322457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876032060877726 × 6371000     		du = 267.562740457129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50318257)-sin(-0.50322457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876052314725499-0.876032060877726)×R²
    abs(0.43080892-0.43076098)×2.02538477732661e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02538477732661e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02538477732661e-05×40589641000000     		ar = 71595.8008647714m²