Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74522 / 56314
↖ ↑ ↗
← N 24.542126°
E 24.680786°		 ← 277.83 m → N 24.542126°
E 24.683533°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
N 24.539628°
E 24.680786°		 ← 277.84 m →
77 194 m²		 N 24.539628°
E 24.683533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568561553955078 y=0.429645538330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568561553955078 × 217)
    floor (0.568561553955078 × 131072)
    floor (74522.5)     		tx = 74522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429645538330078 × 217)
    floor (0.429645538330078 × 131072)
    floor (56314.5)     		ty = 56314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74522 / 56314 ti = "17/74522/56314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74522/56314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74522 ÷ 217
    74522 ÷ 131072     		x = 0.568557739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56314 ÷ 217
    56314 ÷ 131072     		y = 0.429641723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568557739257812 × 2 - 1) × π
    0.137115478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43076098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429641723632812 × 2 - 1) × π
    0.140716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.442074088296158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43076098} λ = 0.43076098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442074088296158))-π/2
    2×atan(1.55593101244155)-π/2
    2×0.999568618855141-π/2
    1.99913723771028-1.57079632675     		φ = 0.42834091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43076098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.680786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42834091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.542126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74522 KachelY 56314 0.43076098 0.42834091 24.680786 24.542126
    Oben rechts KachelX + 1 74523 KachelY 56314 0.43080892 0.42834091 24.683533 24.542126
    Unten links KachelX 74522 KachelY + 1 56315 0.43076098 0.42829730 24.680786 24.539628
    Unten rechts KachelX + 1 74523 KachelY + 1 56315 0.43080892 0.42829730 24.683533 24.539628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42834091-0.42829730) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dl = 277.839310000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42834091-0.42829730) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dr = 277.839310000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43076098-0.43080892) × cos(0.42834091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909656124537179 × 6371000     		do = 277.832394982118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43076098-0.43080892) × cos(0.42829730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909674237616549 × 6371000     		du = 277.837927182788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42834091)-sin(0.42829730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909656124537179-0.909674237616549)×R²
    abs(0.43080892-0.43076098)×1.81130793696083e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81130793696083e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81130793696083e-05×40589641000000     		ar = 77193.5294611803m²