Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74521 / 76501
↖ ↑ ↗
← S 28.818207°
E 24.678039°		 ← 267.60 m → S 28.818207°
E 24.680786°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
S 28.820612°
E 24.678039°		 ← 267.59 m →
71 587 m²		 S 28.820612°
E 24.680786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568553924560547 y=0.583660125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568553924560547 × 217)
    floor (0.568553924560547 × 131072)
    floor (74521.5)     		tx = 74521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583660125732422 × 217)
    floor (0.583660125732422 × 131072)
    floor (76501.5)     		ty = 76501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74521 / 76501 ti = "17/74521/76501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74521/76501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74521 ÷ 217
    74521 ÷ 131072     		x = 0.568550109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76501 ÷ 217
    76501 ÷ 131072     		y = 0.583656311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568550109863281 × 2 - 1) × π
    0.137100219726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.43071304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583656311035156 × 2 - 1) × π
    -0.167312622070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.525628104333916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43071304} λ = 0.43071304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525628104333916))-π/2
    2×atan(0.591183922543026)-π/2
    2×0.53391187081143-π/2
    1.06782374162286-1.57079632675     		φ = -0.50297259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43071304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.678039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50297259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.818207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74521 KachelY 76501 0.43071304 -0.50297259 24.678039 -28.818207
    Oben rechts KachelX + 1 74522 KachelY 76501 0.43076098 -0.50297259 24.680786 -28.818207
    Unten links KachelX 74521 KachelY + 1 76502 0.43071304 -0.50301458 24.678039 -28.820612
    Unten rechts KachelX + 1 74522 KachelY + 1 76502 0.43076098 -0.50301458 24.680786 -28.820612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50297259--0.50301458) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dl = 267.518289999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50297259--0.50301458) × R
    4.19899999999362e-05 × 6371000     		dr = 267.518289999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43071304-0.43076098) × cos(-0.50297259) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876153551142664 × 6371000     		do = 267.599846711511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43071304-0.43076098) × cos(-0.50301458) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876133309841983 × 6371000     		du = 267.593664497271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50297259)-sin(-0.50301458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876153551142664-0.876133309841983)×R²
    abs(0.43076098-0.43071304)×2.02413006815672e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02413006815672e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02413006815672e-05×40589641000000     		ar = 71587.0264792305m²