Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74521 / 54007
↖ ↑ ↗
← N 30.166501°
E 24.678039°		 ← 264.06 m → N 30.166501°
E 24.680786°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
N 30.164126°
E 24.678039°		 ← 264.07 m →
69 734 m²		 N 30.164126°
E 24.680786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568553924560547 y=0.412044525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568553924560547 × 217)
    floor (0.568553924560547 × 131072)
    floor (74521.5)     		tx = 74521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412044525146484 × 217)
    floor (0.412044525146484 × 131072)
    floor (54007.5)     		ty = 54007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74521 / 54007 ti = "17/74521/54007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74521/54007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74521 ÷ 217
    74521 ÷ 131072     		x = 0.568550109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54007 ÷ 217
    54007 ÷ 131072     		y = 0.412040710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568550109863281 × 2 - 1) × π
    0.137100219726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.43071304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412040710449219 × 2 - 1) × π
    0.175918579101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.552664515719627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43071304} λ = 0.43071304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552664515719627))-π/2
    2×atan(1.73787745598764)-π/2
    2×1.04865054635085-π/2
    2.09730109270171-1.57079632675     		φ = 0.52650477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43071304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.678039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52650477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.166501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74521 KachelY 54007 0.43071304 0.52650477 24.678039 30.166501
    Oben rechts KachelX + 1 74522 KachelY 54007 0.43076098 0.52650477 24.680786 30.166501
    Unten links KachelX 74521 KachelY + 1 54008 0.43071304 0.52646332 24.678039 30.164126
    Unten rechts KachelX + 1 74522 KachelY + 1 54008 0.43076098 0.52646332 24.680786 30.164126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52650477-0.52646332) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dl = 264.07794999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52650477-0.52646332) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dr = 264.07794999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43071304-0.43076098) × cos(0.52650477) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864568751924042 × 6371000     		do = 264.06155083741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43071304-0.43076098) × cos(0.52646332) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864589580409435 × 6371000     		du = 264.067912392974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52650477)-sin(0.52646332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864568751924042-0.864589580409435)×R²
    abs(0.43076098-0.43071304)×2.08284853923102e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08284853923102e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08284853923102e-05×40589641000000     		ar = 69733.6730023613m²