Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74521 / 53515
↖ ↑ ↗
← N 31.327833°
E 24.678039°		 ← 260.90 m → N 31.327833°
E 24.680786°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
N 31.325487°
E 24.678039°		 ← 260.90 m →
68 067 m²		 N 31.325487°
E 24.680786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568553924560547 y=0.408290863037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568553924560547 × 217)
    floor (0.568553924560547 × 131072)
    floor (74521.5)     		tx = 74521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408290863037109 × 217)
    floor (0.408290863037109 × 131072)
    floor (53515.5)     		ty = 53515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74521 / 53515 ti = "17/74521/53515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74521/53515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74521 ÷ 217
    74521 ÷ 131072     		x = 0.568550109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53515 ÷ 217
    53515 ÷ 131072     		y = 0.408287048339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568550109863281 × 2 - 1) × π
    0.137100219726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.43071304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408287048339844 × 2 - 1) × π
    0.183425903320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.576249470332695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43071304} λ = 0.43071304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576249470332695))-π/2
    2×atan(1.77935238656955)-π/2
    2×1.05878507879516-π/2
    2.11757015759031-1.57079632675     		φ = 0.54677383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43071304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.678039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54677383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.327833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74521 KachelY 53515 0.43071304 0.54677383 24.678039 31.327833
    Oben rechts KachelX + 1 74522 KachelY 53515 0.43076098 0.54677383 24.680786 31.327833
    Unten links KachelX 74521 KachelY + 1 53516 0.43071304 0.54673288 24.678039 31.325487
    Unten rechts KachelX + 1 74522 KachelY + 1 53516 0.43076098 0.54673288 24.680786 31.325487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54677383-0.54673288) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dl = 260.892450000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54677383-0.54673288) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dr = 260.892450000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43071304-0.43076098) × cos(0.54677383) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.854206360384236 × 6371000     		do = 260.896609733193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43071304-0.43076098) × cos(0.54673288) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.85422765097042 × 6371000     		du = 260.903112426233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54677383)-sin(0.54673288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854206360384236-0.85422765097042)×R²
    abs(0.43076098-0.43071304)×2.12905861842749e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12905861842749e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12905861842749e-05×40589641000000     		ar = 68066.8039714602m²