Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74520 / 77339
↖ ↑ ↗
← S 30.814987°
E 24.675293°		 ← 262.25 m → S 30.814987°
E 24.678039°		 →
↑
262.29 m
↓
↑
262.29 m
↓
S 30.817346°
E 24.675293°		 ← 262.25 m →
68 787 m²		 S 30.817346°
E 24.678039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568546295166016 y=0.590053558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568546295166016 × 217)
    floor (0.568546295166016 × 131072)
    floor (74520.5)     		tx = 74520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590053558349609 × 217)
    floor (0.590053558349609 × 131072)
    floor (77339.5)     		ty = 77339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74520 / 77339 ti = "17/74520/77339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74520/77339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74520 ÷ 217
    74520 ÷ 131072     		x = 0.56854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77339 ÷ 217
    77339 ÷ 131072     		y = 0.590049743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56854248046875 × 2 - 1) × π
    0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590049743652344 × 2 - 1) × π
    -0.180099487304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.565799226215523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43066511} λ = 0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565799226215523))-π/2
    2×atan(0.56790607990363)-π/2
    2×0.516486668426309-π/2
    1.03297333685262-1.57079632675     		φ = -0.53782299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53782299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.814987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74520 KachelY 77339 0.43066511 -0.53782299 24.675293 -30.814987
    Oben rechts KachelX + 1 74521 KachelY 77339 0.43071304 -0.53782299 24.678039 -30.814987
    Unten links KachelX 74520 KachelY + 1 77340 0.43066511 -0.53786416 24.675293 -30.817346
    Unten rechts KachelX + 1 74521 KachelY + 1 77340 0.43071304 -0.53786416 24.678039 -30.817346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53782299--0.53786416) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dl = 262.294070000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53782299--0.53786416) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dr = 262.294070000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43066511-0.43071304) × cos(-0.53782299) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.858825927175216 × 6371000     		do = 262.252828538713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43066511-0.43071304) × cos(-0.53786416) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.858804836392989 × 6371000     		du = 262.246388214638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53782299)-sin(-0.53786416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858825927175216-0.858804836392989)×R²
    abs(0.43071304-0.43066511)×2.10907822273398e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.10907822273398e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.10907822273398e-05×40589641000000     		ar = 68786.5171467976m²