Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74520 / 55063
↖ ↑ ↗
← N 27.627574°
E 24.675293°		 ← 270.54 m → N 27.627574°
E 24.678039°		 →
↑
270.58 m
↓
↑
270.58 m
↓
N 27.625141°
E 24.675293°		 ← 270.55 m →
73 204 m²		 N 27.625141°
E 24.678039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568546295166016 y=0.420101165771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568546295166016 × 217)
    floor (0.568546295166016 × 131072)
    floor (74520.5)     		tx = 74520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420101165771484 × 217)
    floor (0.420101165771484 × 131072)
    floor (55063.5)     		ty = 55063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74520 / 55063 ti = "17/74520/55063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74520/55063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74520 ÷ 217
    74520 ÷ 131072     		x = 0.56854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55063 ÷ 217
    55063 ÷ 131072     		y = 0.420097351074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56854248046875 × 2 - 1) × π
    0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420097351074219 × 2 - 1) × π
    0.159805297851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.502043149720848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43066511} λ = 0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.502043149720848))-π/2
    2×atan(1.65209329871013)-π/2
    2×1.02649422679303-π/2
    2.05298845358606-1.57079632675     		φ = 0.48219213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48219213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.627574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74520 KachelY 55063 0.43066511 0.48219213 24.675293 27.627574
    Oben rechts KachelX + 1 74521 KachelY 55063 0.43071304 0.48219213 24.678039 27.627574
    Unten links KachelX 74520 KachelY + 1 55064 0.43066511 0.48214966 24.675293 27.625141
    Unten rechts KachelX + 1 74521 KachelY + 1 55064 0.43071304 0.48214966 24.678039 27.625141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48219213-0.48214966) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dl = 270.576370000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48219213-0.48214966) × R
    4.24700000000167e-05 × 6371000     		dr = 270.576370000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43066511-0.43071304) × cos(0.48219213) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.885980512409047 × 6371000     		do = 270.544807809519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43066511-0.43071304) × cos(0.48214966) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.886000205903432 × 6371000     		du = 270.550821454942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48219213)-sin(0.48214966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885980512409047-0.886000205903432)×R²
    abs(0.43071304-0.43066511)×1.96934943852423e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.96934943852423e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.96934943852423e-05×40589641000000     		ar = 73203.8456056028m²