Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74520 / 54549
↖ ↑ ↗
← N 28.871134°
E 24.675293°		 ← 267.41 m → N 28.871134°
E 24.678039°		 →
↑
267.45 m
↓
↑
267.45 m
↓
N 28.868729°
E 24.675293°		 ← 267.41 m →
71 520 m²		 N 28.868729°
E 24.678039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568546295166016 y=0.416179656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568546295166016 × 217)
    floor (0.568546295166016 × 131072)
    floor (74520.5)     		tx = 74520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416179656982422 × 217)
    floor (0.416179656982422 × 131072)
    floor (54549.5)     		ty = 54549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74520 / 54549 ti = "17/74520/54549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74520/54549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74520 ÷ 217
    74520 ÷ 131072     		x = 0.56854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54549 ÷ 217
    54549 ÷ 131072     		y = 0.416175842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56854248046875 × 2 - 1) × π
    0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416175842285156 × 2 - 1) × π
    0.167648315429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.526682716125557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43066511} λ = 0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526682716125557))-π/2
    2×atan(1.69330580538131)-π/2
    2×1.03734633944141-π/2
    2.07469267888281-1.57079632675     		φ = 0.50389635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50389635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.871134°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74520 KachelY 54549 0.43066511 0.50389635 24.675293 28.871134
    Oben rechts KachelX + 1 74521 KachelY 54549 0.43071304 0.50389635 24.678039 28.871134
    Unten links KachelX 74520 KachelY + 1 54550 0.43066511 0.50385437 24.675293 28.868729
    Unten rechts KachelX + 1 74521 KachelY + 1 54550 0.43071304 0.50385437 24.678039 28.868729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50389635-0.50385437) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dl = 267.454579999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50389635-0.50385437) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dr = 267.454579999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43066511-0.43071304) × cos(0.50389635) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.87570789539916 × 6371000     		do = 267.407940625969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43066511-0.43071304) × cos(0.50385437) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.875728164303592 × 6371000     		du = 267.414129979772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50389635)-sin(0.50385437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87570789539916-0.875728164303592)×R²
    abs(0.43071304-0.43066511)×2.02689044315196e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.02689044315196e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.02689044315196e-05×40589641000000     		ar = 71520.3061448592m²