Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74520 / 53525
↖ ↑ ↗
← N 31.304368°
E 24.675293°		 ← 260.91 m → N 31.304368°
E 24.678039°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
N 31.302022°
E 24.675293°		 ← 260.91 m →
68 086 m²		 N 31.302022°
E 24.678039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568546295166016 y=0.408367156982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568546295166016 × 217)
    floor (0.568546295166016 × 131072)
    floor (74520.5)     		tx = 74520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408367156982422 × 217)
    floor (0.408367156982422 × 131072)
    floor (53525.5)     		ty = 53525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74520 / 53525 ti = "17/74520/53525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74520/53525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74520 ÷ 217
    74520 ÷ 131072     		x = 0.56854248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53525 ÷ 217
    53525 ÷ 131072     		y = 0.408363342285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56854248046875 × 2 - 1) × π
    0.1370849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43066511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408363342285156 × 2 - 1) × π
    0.183273315429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.575770101336494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43066511} λ = 0.43066511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.575770101336494))-π/2
    2×atan(1.77849962461226)-π/2
    2×1.05858031326136-π/2
    2.11716062652273-1.57079632675     		φ = 0.54636430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43066511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54636430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.304368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74520 KachelY 53525 0.43066511 0.54636430 24.675293 31.304368
    Oben rechts KachelX + 1 74521 KachelY 53525 0.43071304 0.54636430 24.678039 31.304368
    Unten links KachelX 74520 KachelY + 1 53526 0.43066511 0.54632334 24.675293 31.302022
    Unten rechts KachelX + 1 74521 KachelY + 1 53526 0.43071304 0.54632334 24.678039 31.302022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54636430-0.54632334) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54636430-0.54632334) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43066511-0.43071304) × cos(0.54636430) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854419217368781 × 6371000     		do = 260.9071866866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43066511-0.43071304) × cos(0.54632334) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.854440498823238 × 6371000     		du = 260.913685234734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54636430)-sin(0.54632334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854419217368781-0.854440498823238)×R²
    abs(0.43071304-0.43066511)×2.12814544562345e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12814544562345e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12814544562345e-05×40589641000000     		ar = 68086.1854817983m²