Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7452 / 7420
↖ ↑ ↗
← S 81.065957°
E147.480469°		 ← 758.86 m → S 81.065957°
E147.524414°		 →
↑
758.53 m
↓
↑
758.53 m
↓
S 81.072779°
E147.480469°		 ← 758.28 m →
575 401 m²		 S 81.072779°
E147.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90972900390625 y=0.90582275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90972900390625 × 213)
    floor (0.90972900390625 × 8192)
    floor (7452.5)     		tx = 7452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90582275390625 × 213)
    floor (0.90582275390625 × 8192)
    floor (7420.5)     		ty = 7420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7452 / 7420 ti = "13/7452/7420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7452/7420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7452 ÷ 213
    7452 ÷ 8192     		x = 0.90966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7420 ÷ 213
    7420 ÷ 8192     		y = 0.90576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90966796875 × 2 - 1) × π
    0.8193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57401976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90576171875 × 2 - 1) × π
    -0.8115234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.54947606939307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57401976} λ = 2.57401976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54947606939307))-π/2
    2×atan(0.0781225860945201)-π/2
    2×0.0779642345695431-π/2
    0.155928469139086-1.57079632675     		φ = -1.41486786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57401976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41486786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.065957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7452 KachelY 7420 2.57401976 -1.41486786 147.480469 -81.065957
    Oben rechts KachelX + 1 7453 KachelY 7420 2.57478675 -1.41486786 147.524414 -81.065957
    Unten links KachelX 7452 KachelY + 1 7421 2.57401976 -1.41498692 147.480469 -81.072779
    Unten rechts KachelX + 1 7453 KachelY + 1 7421 2.57478675 -1.41498692 147.524414 -81.072779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41486786--1.41498692) × R
    0.00011906000000006 × 6371000     		dl = 758.53126000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41486786--1.41498692) × R
    0.00011906000000006 × 6371000     		dr = 758.53126000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57401976-2.57478675) × cos(-1.41486786) × R
    0.000766989999999801 × 0.155297368516921 × 6371000     		do = 758.859549212395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57401976-2.57478675) × cos(-1.41498692) × R
    0.000766989999999801 × 0.155179751880032 × 6371000     		du = 758.284816305444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41486786)-sin(-1.41498692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155297368516921-0.155179751880032)×R²
    abs(2.57478675-2.57401976)×0.000117616636889167×R²
    0.000766989999999801×0.000117616636889167×6371000²
    0.000766989999999801×0.000117616636889167×40589641000000     		ar = 575400.714269588m²