Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7452 / 7332
↖ ↑ ↗
← S 80.444930°
E147.480469°		 ← 811.14 m → S 80.444930°
E147.524414°		 →
↑
810.84 m
↓
↑
810.84 m
↓
S 80.452222°
E147.480469°		 ← 810.52 m →
657 450 m²		 S 80.452222°
E147.524414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90972900390625 y=0.89508056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90972900390625 × 213)
    floor (0.90972900390625 × 8192)
    floor (7452.5)     		tx = 7452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89508056640625 × 213)
    floor (0.89508056640625 × 8192)
    floor (7332.5)     		ty = 7332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7452 / 7332 ti = "13/7452/7332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7452/7332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7452 ÷ 213
    7452 ÷ 8192     		x = 0.90966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7332 ÷ 213
    7332 ÷ 8192     		y = 0.89501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90966796875 × 2 - 1) × π
    0.8193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57401976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89501953125 × 2 - 1) × π
    -0.7900390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48198091472803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57401976} λ = 2.57401976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48198091472803))-π/2
    2×atan(0.0835775015999884)-π/2
    2×0.0833837113314744-π/2
    0.166767422662949-1.57079632675     		φ = -1.40402890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57401976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40402890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.444930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7452 KachelY 7332 2.57401976 -1.40402890 147.480469 -80.444930
    Oben rechts KachelX + 1 7453 KachelY 7332 2.57478675 -1.40402890 147.524414 -80.444930
    Unten links KachelX 7452 KachelY + 1 7333 2.57401976 -1.40415617 147.480469 -80.452222
    Unten rechts KachelX + 1 7453 KachelY + 1 7333 2.57478675 -1.40415617 147.524414 -80.452222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40402890--1.40415617) × R
    0.000127270000000124 × 6371000     		dl = 810.837170000788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40402890--1.40415617) × R
    0.000127270000000124 × 6371000     		dr = 810.837170000788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57401976-2.57478675) × cos(-1.40402890) × R
    0.000766989999999801 × 0.165995495769574 × 6371000     		do = 811.135876248034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57401976-2.57478675) × cos(-1.40415617) × R
    0.000766989999999801 × 0.165869990104509 × 6371000     		du = 810.522593657838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40402890)-sin(-1.40415617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165995495769574-0.165869990104509)×R²
    abs(2.57478675-2.57401976)×0.000125505665064807×R²
    0.000766989999999801×0.000125505665064807×6371000²
    0.000766989999999801×0.000125505665064807×40589641000000     		ar = 657450.483110105m²