Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7452 / 5412
↖ ↑ ↗
← N 76.090236°
W 98.129883°		 ← 293.67 m → N 76.090236°
W 98.118896°		 →
↑
293.70 m
↓
↑
293.70 m
↓
N 76.087594°
W 98.129883°		 ← 293.73 m →
86 261 m²		 N 76.087594°
W 98.118896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227432250976562 y=0.165176391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227432250976562 × 215)
    floor (0.227432250976562 × 32768)
    floor (7452.5)     		tx = 7452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165176391601562 × 215)
    floor (0.165176391601562 × 32768)
    floor (5412.5)     		ty = 5412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7452 / 5412 ti = "15/7452/5412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7452/5412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7452 ÷ 215
    7452 ÷ 32768     		x = 0.2274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5412 ÷ 215
    5412 ÷ 32768     		y = 0.1651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2274169921875 × 2 - 1) × π
    -0.545166015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.71268955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1651611328125 × 2 - 1) × π
    0.669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10385465052502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71268955} λ = -1.71268955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10385465052502))-π/2
    2×atan(8.19770838956127)-π/2
    2×1.44941073534414-π/2
    2.89882147068827-1.57079632675     		φ = 1.32802514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71268955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32802514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.090236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7452 KachelY 5412 -1.71268955 1.32802514 -98.129883 76.090236
    Oben rechts KachelX + 1 7453 KachelY 5412 -1.71249780 1.32802514 -98.118896 76.090236
    Unten links KachelX 7452 KachelY + 1 5413 -1.71268955 1.32797904 -98.129883 76.087594
    Unten rechts KachelX + 1 7453 KachelY + 1 5413 -1.71249780 1.32797904 -98.118896 76.087594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32802514-1.32797904) × R
    4.61000000000489e-05 × 6371000     		dl = 293.703100000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32802514-1.32797904) × R
    4.61000000000489e-05 × 6371000     		dr = 293.703100000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71268955--1.71249780) × cos(1.32802514) × R
    0.000191749999999935 × 0.240393469235958 × 6371000     		do = 293.674097462214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71268955--1.71249780) × cos(1.32797904) × R
    0.000191749999999935 × 0.240438217122322 × 6371000     		du = 293.728763236552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32802514)-sin(1.32797904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240393469235958-0.240438217122322)×R²
    abs(-1.71249780--1.71268955)×4.47478863648543e-05×R²
    0.000191749999999935×4.47478863648543e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.47478863648543e-05×40589641000000     		ar = 86261.0205828578m²