Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7452 / 4477
↖ ↑ ↗
← N 62.945230°
W 16.259766°		 ← 1 111.31 m → N 62.945230°
W 16.237793°		 →
↑
1 111.48 m
↓
↑
1 111.48 m
↓
N 62.935235°
W 16.259766°		 ← 1 111.69 m →
1 235 410 m²		 N 62.935235°
W 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454864501953125 y=0.273284912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454864501953125 × 214)
    floor (0.454864501953125 × 16384)
    floor (7452.5)     		tx = 7452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273284912109375 × 214)
    floor (0.273284912109375 × 16384)
    floor (4477.5)     		ty = 4477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7452 / 4477 ti = "14/7452/4477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7452/4477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7452 ÷ 214
    7452 ÷ 16384     		x = 0.454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4477 ÷ 214
    4477 ÷ 16384     		y = 0.27325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28378645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27325439453125 × 2 - 1) × π
    0.4534912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42468465670807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28378645} λ = -0.28378645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42468465670807))-π/2
    2×atan(4.15654689688635)-π/2
    2×1.3346989251498-π/2
    2.6693978502996-1.57079632675     		φ = 1.09860152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28378645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09860152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.945230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7452 KachelY 4477 -0.28378645 1.09860152 -16.259766 62.945230
    Oben rechts KachelX + 1 7453 KachelY 4477 -0.28340295 1.09860152 -16.237793 62.945230
    Unten links KachelX 7452 KachelY + 1 4478 -0.28378645 1.09842706 -16.259766 62.935235
    Unten rechts KachelX + 1 7453 KachelY + 1 4478 -0.28340295 1.09842706 -16.237793 62.935235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09860152-1.09842706) × R
    0.000174460000000209 × 6371000     		dl = 1111.48466000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09860152-1.09842706) × R
    0.000174460000000209 × 6371000     		dr = 1111.48466000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28378645--0.28340295) × cos(1.09860152) × R
    0.000383500000000037 × 0.454842013128825 × 6371000     		do = 1111.30571157448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28378645--0.28340295) × cos(1.09842706) × R
    0.000383500000000037 × 0.454997375422371 × 6371000     		du = 1111.68530492601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09860152)-sin(1.09842706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454842013128825-0.454997375422371)×R²
    abs(-0.28340295--0.28378645)×0.000155362293545847×R²
    0.000383500000000037×0.000155362293545847×6371000²
    0.000383500000000037×0.000155362293545847×40589641000000     		ar = 1235410.21021363m²