Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7452 / 10665
↖ ↑ ↗
← S 47.650587°
W 16.259766°		 ← 1 645.91 m → S 47.650587°
W 16.237793°		 →
↑
1 645.69 m
↓
↑
1 645.69 m
↓
S 47.665387°
W 16.259766°		 ← 1 645.45 m →
2 708 287 m²		 S 47.665387°
W 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454864501953125 y=0.650970458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454864501953125 × 214)
    floor (0.454864501953125 × 16384)
    floor (7452.5)     		tx = 7452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650970458984375 × 214)
    floor (0.650970458984375 × 16384)
    floor (10665.5)     		ty = 10665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7452 / 10665 ti = "14/7452/10665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7452/10665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7452 ÷ 214
    7452 ÷ 16384     		x = 0.454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10665 ÷ 214
    10665 ÷ 16384     		y = 0.65093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28378645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65093994140625 × 2 - 1) × π
    -0.3018798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.948383622083191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28378645} λ = -0.28378645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948383622083191))-π/2
    2×atan(0.387366648591452)-π/2
    2×0.369568341593025-π/2
    0.73913668318605-1.57079632675     		φ = -0.83165964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28378645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83165964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.650587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7452 KachelY 10665 -0.28378645 -0.83165964 -16.259766 -47.650587
    Oben rechts KachelX + 1 7453 KachelY 10665 -0.28340295 -0.83165964 -16.237793 -47.650587
    Unten links KachelX 7452 KachelY + 1 10666 -0.28378645 -0.83191795 -16.259766 -47.665387
    Unten rechts KachelX + 1 7453 KachelY + 1 10666 -0.28340295 -0.83191795 -16.237793 -47.665387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83165964--0.83191795) × R
    0.000258309999999984 × 6371000     		dl = 1645.6930099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83165964--0.83191795) × R
    0.000258309999999984 × 6371000     		dr = 1645.6930099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28378645--0.28340295) × cos(-0.83165964) × R
    0.000383500000000037 × 0.673650130772391 × 6371000     		do = 1645.91488103853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28378645--0.28340295) × cos(-0.83191795) × R
    0.000383500000000037 × 0.673459204190033 × 6371000     		du = 1645.44839422477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83165964)-sin(-0.83191795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673650130772391-0.673459204190033)×R²
    abs(-0.28340295--0.28378645)×0.000190926582358419×R²
    0.000383500000000037×0.000190926582358419×6371000²
    0.000383500000000037×0.000190926582358419×40589641000000     		ar = 2708286.78279447m²