Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7452 / 10633
↖ ↑ ↗
← S 47.174779°
W 16.259766°		 ← 1 660.85 m → S 47.174779°
W 16.237793°		 →
↑
1 660.60 m
↓
↑
1 660.60 m
↓
S 47.189713°
W 16.259766°		 ← 1 660.39 m →
2 757 627 m²		 S 47.189713°
W 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454864501953125 y=0.649017333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454864501953125 × 214)
    floor (0.454864501953125 × 16384)
    floor (7452.5)     		tx = 7452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649017333984375 × 214)
    floor (0.649017333984375 × 16384)
    floor (10633.5)     		ty = 10633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7452 / 10633 ti = "14/7452/10633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7452/10633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7452 ÷ 214
    7452 ÷ 16384     		x = 0.454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10633 ÷ 214
    10633 ÷ 16384     		y = 0.64898681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28378645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64898681640625 × 2 - 1) × π
    -0.2979736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.936111775780457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28378645} λ = -0.28378645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936111775780457))-π/2
    2×atan(0.392149640611554)-π/2
    2×0.373720560446907-π/2
    0.747441120893814-1.57079632675     		φ = -0.82335521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28378645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82335521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.174779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7452 KachelY 10633 -0.28378645 -0.82335521 -16.259766 -47.174779
    Oben rechts KachelX + 1 7453 KachelY 10633 -0.28340295 -0.82335521 -16.237793 -47.174779
    Unten links KachelX 7452 KachelY + 1 10634 -0.28378645 -0.82361586 -16.259766 -47.189713
    Unten rechts KachelX + 1 7453 KachelY + 1 10634 -0.28340295 -0.82361586 -16.237793 -47.189713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82335521--0.82361586) × R
    0.000260649999999973 × 6371000     		dl = 1660.60114999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82335521--0.82361586) × R
    0.000260649999999973 × 6371000     		dr = 1660.60114999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28378645--0.28340295) × cos(-0.82335521) × R
    0.000383500000000037 × 0.679764224064391 × 6371000     		do = 1660.85331372587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28378645--0.28340295) × cos(-0.82361586) × R
    0.000383500000000037 × 0.679573032262128 × 6371000     		du = 1660.38617890602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82335521)-sin(-0.82361586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679764224064391-0.679573032262128)×R²
    abs(-0.28340295--0.28378645)×0.00019119180226268×R²
    0.000383500000000037×0.00019119180226268×6371000²
    0.000383500000000037×0.00019119180226268×40589641000000     		ar = 2757627.07605731m²