Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7452 / 10630
↖ ↑ ↗
← S 47.129951°
W 16.259766°		 ← 1 662.25 m → S 47.129951°
W 16.237793°		 →
↑
1 662 m
↓
↑
1 662 m
↓
S 47.144898°
W 16.259766°		 ← 1 661.79 m →
2 762 284 m²		 S 47.144898°
W 16.237793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454864501953125 y=0.648834228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454864501953125 × 214)
    floor (0.454864501953125 × 16384)
    floor (7452.5)     		tx = 7452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648834228515625 × 214)
    floor (0.648834228515625 × 16384)
    floor (10630.5)     		ty = 10630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7452 / 10630 ti = "14/7452/10630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7452/10630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7452 ÷ 214
    7452 ÷ 16384     		x = 0.454833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10630 ÷ 214
    10630 ÷ 16384     		y = 0.6488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.09033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28378645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6488037109375 × 2 - 1) × π
    -0.297607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.934961290189575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28378645} λ = -0.28378645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934961290189575))-π/2
    2×atan(0.392601062750087)-π/2
    2×0.374111754903257-π/2
    0.748223509806514-1.57079632675     		φ = -0.82257282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28378645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.259766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82257282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.129951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7452 KachelY 10630 -0.28378645 -0.82257282 -16.259766 -47.129951
    Oben rechts KachelX + 1 7453 KachelY 10630 -0.28340295 -0.82257282 -16.237793 -47.129951
    Unten links KachelX 7452 KachelY + 1 10631 -0.28378645 -0.82283369 -16.259766 -47.144898
    Unten rechts KachelX + 1 7453 KachelY + 1 10631 -0.28340295 -0.82283369 -16.237793 -47.144898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82257282--0.82283369) × R
    0.000260869999999969 × 6371000     		dl = 1662.0027699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82257282--0.82283369) × R
    0.000260869999999969 × 6371000     		dr = 1662.0027699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28378645--0.28340295) × cos(-0.82257282) × R
    0.000383500000000037 × 0.680337844802052 × 6371000     		do = 1662.25482894135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28378645--0.28340295) × cos(-0.82283369) × R
    0.000383500000000037 × 0.680146630386361 × 6371000     		du = 1661.7876388706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82257282)-sin(-0.82283369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680337844802052-0.680146630386361)×R²
    abs(-0.28340295--0.28378645)×0.000191214415691254×R²
    0.000383500000000037×0.000191214415691254×6371000²
    0.000383500000000037×0.000191214415691254×40589641000000     		ar = 2762283.91021626m²