Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74519 / 76505
↖ ↑ ↗
← S 28.827832°
E 24.672546°		 ← 267.58 m → S 28.827832°
E 24.675293°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
S 28.830238°
E 24.672546°		 ← 267.57 m →
71 580 m²		 S 28.830238°
E 24.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568538665771484 y=0.583690643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568538665771484 × 217)
    floor (0.568538665771484 × 131072)
    floor (74519.5)     		tx = 74519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583690643310547 × 217)
    floor (0.583690643310547 × 131072)
    floor (76505.5)     		ty = 76505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74519 / 76505 ti = "17/74519/76505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74519/76505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74519 ÷ 217
    74519 ÷ 131072     		x = 0.568534851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76505 ÷ 217
    76505 ÷ 131072     		y = 0.583686828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568534851074219 × 2 - 1) × π
    0.137069702148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.43061717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583686828613281 × 2 - 1) × π
    -0.167373657226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.525819851932396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43061717} λ = 0.43061717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525819851932396))-π/2
    2×atan(0.591070575312996)-π/2
    2×0.533827874523822-π/2
    1.06765574904764-1.57079632675     		φ = -0.50314058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43061717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.672546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50314058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.827832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74519 KachelY 76505 0.43061717 -0.50314058 24.672546 -28.827832
    Oben rechts KachelX + 1 74520 KachelY 76505 0.43066511 -0.50314058 24.675293 -28.827832
    Unten links KachelX 74519 KachelY + 1 76506 0.43061717 -0.50318257 24.672546 -28.830238
    Unten rechts KachelX + 1 74520 KachelY + 1 76506 0.43066511 -0.50318257 24.675293 -28.830238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50314058--0.50318257) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dl = 267.518290000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50314058--0.50318257) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dr = 267.518290000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43061717-0.43066511) × cos(-0.50314058) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876072562206123 × 6371000     		do = 267.575110605636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43061717-0.43066511) × cos(-0.50318257) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.876052314725499 × 6371000     		du = 267.568926503883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50314058)-sin(-0.50318257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876072562206123-0.876052314725499)×R²
    abs(0.43066511-0.43061717)×2.02474806241248e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02474806241248e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02474806241248e-05×40589641000000     		ar = 71580.4088661996m²