Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74519 / 54547
↖ ↑ ↗
← N 28.875945°
E 24.672546°		 ← 267.45 m → N 28.875945°
E 24.675293°		 →
↑
267.45 m
↓
↑
267.45 m
↓
N 28.873539°
E 24.672546°		 ← 267.46 m →
71 532 m²		 N 28.873539°
E 24.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568538665771484 y=0.416164398193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568538665771484 × 217)
    floor (0.568538665771484 × 131072)
    floor (74519.5)     		tx = 74519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416164398193359 × 217)
    floor (0.416164398193359 × 131072)
    floor (54547.5)     		ty = 54547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74519 / 54547 ti = "17/74519/54547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74519/54547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74519 ÷ 217
    74519 ÷ 131072     		x = 0.568534851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54547 ÷ 217
    54547 ÷ 131072     		y = 0.416160583496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568534851074219 × 2 - 1) × π
    0.137069702148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.43061717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416160583496094 × 2 - 1) × π
    0.167678833007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.526778589924797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43061717} λ = 0.43061717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526778589924797))-π/2
    2×atan(1.69346815682464)-π/2
    2×1.03738831719117-π/2
    2.07477663438233-1.57079632675     		φ = 0.50398031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43061717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.672546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50398031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.875945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74519 KachelY 54547 0.43061717 0.50398031 24.672546 28.875945
    Oben rechts KachelX + 1 74520 KachelY 54547 0.43066511 0.50398031 24.675293 28.875945
    Unten links KachelX 74519 KachelY + 1 54548 0.43061717 0.50393833 24.672546 28.873539
    Unten rechts KachelX + 1 74520 KachelY + 1 54548 0.43066511 0.50393833 24.675293 28.873539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50398031-0.50393833) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dl = 267.454579999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50398031-0.50393833) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dr = 267.454579999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43061717-0.43066511) × cos(0.50398031) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875667352960499 × 6371000     		do = 267.451349271936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43061717-0.43066511) × cos(0.50393833) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875687624951451 × 6371000     		du = 267.457540859774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50398031)-sin(0.50393833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875667352960499-0.875687624951451)×R²
    abs(0.43066511-0.43061717)×2.02719909515592e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02719909515592e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02719909515592e-05×40589641000000     		ar = 71531.9162846933m²