Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74518 / 76494
↖ ↑ ↗
← S 28.801360°
E 24.669800°		 ← 267.64 m → S 28.801360°
E 24.672546°		 →
↑
267.65 m
↓
↑
267.65 m
↓
S 28.803767°
E 24.669800°		 ← 267.64 m →
71 633 m²		 S 28.803767°
E 24.672546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568531036376953 y=0.583606719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568531036376953 × 217)
    floor (0.568531036376953 × 131072)
    floor (74518.5)     		tx = 74518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583606719970703 × 217)
    floor (0.583606719970703 × 131072)
    floor (76494.5)     		ty = 76494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74518 / 76494 ti = "17/74518/76494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74518/76494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74518 ÷ 217
    74518 ÷ 131072     		x = 0.568527221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76494 ÷ 217
    76494 ÷ 131072     		y = 0.583602905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568527221679688 × 2 - 1) × π
    0.137054443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43056923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583602905273438 × 2 - 1) × π
    -0.167205810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.525292546036575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43056923} λ = 0.43056923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.525292546036575))-π/2
    2×atan(0.591382332500682)-π/2
    2×0.534058882995898-π/2
    1.0681177659918-1.57079632675     		φ = -0.50267856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43056923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.669800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50267856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.801360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74518 KachelY 76494 0.43056923 -0.50267856 24.669800 -28.801360
    Oben rechts KachelX + 1 74519 KachelY 76494 0.43061717 -0.50267856 24.672546 -28.801360
    Unten links KachelX 74518 KachelY + 1 76495 0.43056923 -0.50272057 24.669800 -28.803767
    Unten rechts KachelX + 1 74519 KachelY + 1 76495 0.43061717 -0.50272057 24.672546 -28.803767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50267856--0.50272057) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dl = 267.645710000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50267856--0.50272057) × R
    4.20100000000367e-05 × 6371000     		dr = 267.645710000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43056923-0.43061717) × cos(-0.50267856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876295245168517 × 6371000     		do = 267.6431237139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43056923-0.43061717) × cos(-0.50272057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876275005049632 × 6371000     		du = 267.636941860612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50267856)-sin(-0.50272057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876295245168517-0.876275005049632)×R²
    abs(0.43061717-0.43056923)×2.02401188853507e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02401188853507e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02401188853507e-05×40589641000000     		ar = 71632.7066103915m²