Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74518 / 76472
↖ ↑ ↗
← S 28.748396°
E 24.669800°		 ← 267.78 m → S 28.748396°
E 24.672546°		 →
↑
267.77 m
↓
↑
267.77 m
↓
S 28.750804°
E 24.669800°		 ← 267.77 m →
71 703 m²		 S 28.750804°
E 24.672546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568531036376953 y=0.583438873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568531036376953 × 217)
    floor (0.568531036376953 × 131072)
    floor (74518.5)     		tx = 74518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583438873291016 × 217)
    floor (0.583438873291016 × 131072)
    floor (76472.5)     		ty = 76472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74518 / 76472 ti = "17/74518/76472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74518/76472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74518 ÷ 217
    74518 ÷ 131072     		x = 0.568527221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76472 ÷ 217
    76472 ÷ 131072     		y = 0.58343505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568527221679688 × 2 - 1) × π
    0.137054443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43056923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58343505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1668701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.524237934244934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43056923} λ = 0.43056923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524237934244934))-π/2
    2×atan(0.592006340267044)-π/2
    2×0.534521075985882-π/2
    1.06904215197176-1.57079632675     		φ = -0.50175417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43056923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.669800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50175417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.748396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74518 KachelY 76472 0.43056923 -0.50175417 24.669800 -28.748396
    Oben rechts KachelX + 1 74519 KachelY 76472 0.43061717 -0.50175417 24.672546 -28.748396
    Unten links KachelX 74518 KachelY + 1 76473 0.43056923 -0.50179620 24.669800 -28.750804
    Unten rechts KachelX + 1 74519 KachelY + 1 76473 0.43061717 -0.50179620 24.672546 -28.750804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50175417--0.50179620) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dl = 267.773130000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50175417--0.50179620) × R
    4.20300000000262e-05 × 6371000     		dr = 267.773130000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43056923-0.43061717) × cos(-0.50175417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876740218214884 × 6371000     		do = 267.779029935867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43056923-0.43061717) × cos(-0.50179620) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876720002513947 × 6371000     		du = 267.772855540449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50175417)-sin(-0.50179620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876740218214884-0.876720002513947)×R²
    abs(0.43061717-0.43056923)×2.02157009370207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02157009370207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02157009370207e-05×40589641000000     		ar = 71703.2023363691m²