Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74518 / 56318
↖ ↑ ↗
← N 24.532132°
E 24.669800°		 ← 277.85 m → N 24.532132°
E 24.672546°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
N 24.529634°
E 24.669800°		 ← 277.86 m →
77 200 m²		 N 24.529634°
E 24.672546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568531036376953 y=0.429676055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568531036376953 × 217)
    floor (0.568531036376953 × 131072)
    floor (74518.5)     		tx = 74518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429676055908203 × 217)
    floor (0.429676055908203 × 131072)
    floor (56318.5)     		ty = 56318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74518 / 56318 ti = "17/74518/56318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74518/56318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74518 ÷ 217
    74518 ÷ 131072     		x = 0.568527221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56318 ÷ 217
    56318 ÷ 131072     		y = 0.429672241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568527221679688 × 2 - 1) × π
    0.137054443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43056923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429672241210938 × 2 - 1) × π
    0.140655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.441882340697678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43056923} λ = 0.43056923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441882340697678))-π/2
    2×atan(1.55563269500826)-π/2
    2×0.999481403193872-π/2
    1.99896280638774-1.57079632675     		φ = 0.42816648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43056923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.669800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42816648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.532132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74518 KachelY 56318 0.43056923 0.42816648 24.669800 24.532132
    Oben rechts KachelX + 1 74519 KachelY 56318 0.43061717 0.42816648 24.672546 24.532132
    Unten links KachelX 74518 KachelY + 1 56319 0.43056923 0.42812287 24.669800 24.529634
    Unten rechts KachelX + 1 74519 KachelY + 1 56319 0.43061717 0.42812287 24.672546 24.529634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42816648-0.42812287) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dl = 277.839310000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42816648-0.42812287) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dr = 277.839310000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43056923-0.43061717) × cos(0.42816648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909728562322199 × 6371000     		do = 277.854519346212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43056923-0.43061717) × cos(0.42812287) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909746668481568 × 6371000     		du = 277.860049433335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42816648)-sin(0.42812287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909728562322199-0.909746668481568)×R²
    abs(0.43061717-0.43056923)×1.81061593690357e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81061593690357e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81061593690357e-05×40589641000000     		ar = 77199.6761855841m²