Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74517 / 56278
↖ ↑ ↗
← N 24.632038°
E 24.667053°		 ← 277.58 m → N 24.632038°
E 24.669800°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
N 24.629541°
E 24.667053°		 ← 277.58 m →
77 069 m²		 N 24.629541°
E 24.669800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568523406982422 y=0.429370880126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568523406982422 × 217)
    floor (0.568523406982422 × 131072)
    floor (74517.5)     		tx = 74517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429370880126953 × 217)
    floor (0.429370880126953 × 131072)
    floor (56278.5)     		ty = 56278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74517 / 56278 ti = "17/74517/56278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74517/56278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74517 ÷ 217
    74517 ÷ 131072     		x = 0.568519592285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56278 ÷ 217
    56278 ÷ 131072     		y = 0.429367065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568519592285156 × 2 - 1) × π
    0.137039184570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.43052130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429367065429688 × 2 - 1) × π
    0.141265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.44379981668248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43052130} λ = 0.43052130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44379981668248))-π/2
    2×atan(1.55861844497923)-π/2
    2×1.00035324698534-π/2
    2.00070649397068-1.57079632675     		φ = 0.42991017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43052130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.667053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42991017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.632038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74517 KachelY 56278 0.43052130 0.42991017 24.667053 24.632038
    Oben rechts KachelX + 1 74518 KachelY 56278 0.43056923 0.42991017 24.669800 24.632038
    Unten links KachelX 74517 KachelY + 1 56279 0.43052130 0.42986659 24.667053 24.629541
    Unten rechts KachelX + 1 74518 KachelY + 1 56279 0.43056923 0.42986659 24.669800 24.629541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42991017-0.42986659) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dl = 277.648179999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42991017-0.42986659) × R
    4.35799999999875e-05 × 6371000     		dr = 277.648179999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43052130-0.43056923) × cos(0.42991017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.9090031935116 × 6371000     		do = 277.575060447355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43052130-0.43056923) × cos(0.42986659) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.909021356319482 × 6371000     		du = 277.58060667924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42991017)-sin(0.42986659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9090031935116-0.909021356319482)×R²
    abs(0.43056923-0.43052130)×1.81628078825824e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81628078825824e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81628078825824e-05×40589641000000     		ar = 77068.9803093539m²