Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74516 / 56276
↖ ↑ ↗
← N 24.637032°
E 24.664307°		 ← 277.62 m → N 24.637032°
E 24.667053°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
N 24.634535°
E 24.664307°		 ← 277.63 m →
77 082 m²		 N 24.634535°
E 24.667053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568515777587891 y=0.429355621337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568515777587891 × 217)
    floor (0.568515777587891 × 131072)
    floor (74516.5)     		tx = 74516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429355621337891 × 217)
    floor (0.429355621337891 × 131072)
    floor (56276.5)     		ty = 56276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74516 / 56276 ti = "17/74516/56276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74516/56276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74516 ÷ 217
    74516 ÷ 131072     		x = 0.568511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56276 ÷ 217
    56276 ÷ 131072     		y = 0.429351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568511962890625 × 2 - 1) × π
    0.13702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43047336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429351806640625 × 2 - 1) × π
    0.14129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.44389569048172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43047336} λ = 0.43047336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44389569048172))-π/2
    2×atan(1.55876788281459)-π/2
    2×1.00039682090959-π/2
    2.00079364181918-1.57079632675     		φ = 0.42999732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43047336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42999732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.637032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74516 KachelY 56276 0.43047336 0.42999732 24.664307 24.637032
    Oben rechts KachelX + 1 74517 KachelY 56276 0.43052130 0.42999732 24.667053 24.637032
    Unten links KachelX 74516 KachelY + 1 56277 0.43047336 0.42995374 24.664307 24.634535
    Unten rechts KachelX + 1 74517 KachelY + 1 56277 0.43052130 0.42995374 24.667053 24.634535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42999732-0.42995374) × R
    4.3580000000043e-05 × 6371000     		dl = 277.648180000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42999732-0.42995374) × R
    4.3580000000043e-05 × 6371000     		dr = 277.648180000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43047336-0.43052130) × cos(0.42999732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908966866885371 × 6371000     		do = 277.621877953764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43047336-0.43052130) × cos(0.42995374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908985033145611 × 6371000     		du = 277.627426397241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42999732)-sin(0.42995374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908966866885371-0.908985033145611)×R²
    abs(0.43052130-0.43047336)×1.81662602396493e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81662602396493e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81662602396493e-05×40589641000000     		ar = 77081.9794119331m²