Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74516 / 53516
↖ ↑ ↗
← N 31.325487°
E 24.664307°		 ← 260.90 m → N 31.325487°
E 24.667053°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
N 31.323140°
E 24.664307°		 ← 260.91 m →
68 069 m²		 N 31.323140°
E 24.667053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568515777587891 y=0.408298492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568515777587891 × 217)
    floor (0.568515777587891 × 131072)
    floor (74516.5)     		tx = 74516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408298492431641 × 217)
    floor (0.408298492431641 × 131072)
    floor (53516.5)     		ty = 53516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74516 / 53516 ti = "17/74516/53516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74516/53516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74516 ÷ 217
    74516 ÷ 131072     		x = 0.568511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53516 ÷ 217
    53516 ÷ 131072     		y = 0.408294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568511962890625 × 2 - 1) × π
    0.13702392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43047336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408294677734375 × 2 - 1) × π
    0.18341064453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.576201533433075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43047336} λ = 0.43047336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576201533433075))-π/2
    2×atan(1.7792670919772)-π/2
    2×1.05876460453775-π/2
    2.11752920907549-1.57079632675     		φ = 0.54673288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43047336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.664307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54673288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.325487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74516 KachelY 53516 0.43047336 0.54673288 24.664307 31.325487
    Oben rechts KachelX + 1 74517 KachelY 53516 0.43052130 0.54673288 24.667053 31.325487
    Unten links KachelX 74516 KachelY + 1 53517 0.43047336 0.54669193 24.664307 31.323140
    Unten rechts KachelX + 1 74517 KachelY + 1 53517 0.43052130 0.54669193 24.667053 31.323140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54673288-0.54669193) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dl = 260.892449999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54673288-0.54669193) × R
    4.09499999999285e-05 × 6371000     		dr = 260.892449999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43047336-0.43052130) × cos(0.54673288) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.85422765097042 × 6371000     		do = 260.903112425931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43047336-0.43052130) × cos(0.54669193) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.854248940124148 × 6371000     		du = 260.909614681462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54673288)-sin(0.54669193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85422765097042-0.854248940124148)×R²
    abs(0.43052130-0.43047336)×2.12891537277882e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12891537277882e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12891537277882e-05×40589641000000     		ar = 68068.5004173908m²