Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74515 / 77335
↖ ↑ ↗
← S 30.805551°
E 24.661560°		 ← 262.33 m → S 30.805551°
E 24.664307°		 →
↑
262.36 m
↓
↑
262.36 m
↓
S 30.807911°
E 24.661560°		 ← 262.33 m →
68 824 m²		 S 30.807911°
E 24.664307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568508148193359 y=0.590023040771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568508148193359 × 217)
    floor (0.568508148193359 × 131072)
    floor (74515.5)     		tx = 74515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590023040771484 × 217)
    floor (0.590023040771484 × 131072)
    floor (77335.5)     		ty = 77335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74515 / 77335 ti = "17/74515/77335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74515/77335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74515 ÷ 217
    74515 ÷ 131072     		x = 0.568504333496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77335 ÷ 217
    77335 ÷ 131072     		y = 0.590019226074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568504333496094 × 2 - 1) × π
    0.137008666992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.43042542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590019226074219 × 2 - 1) × π
    -0.180038452148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.565607478617043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43042542} λ = 0.43042542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565607478617043))-π/2
    2×atan(0.568014984971423)-π/2
    2×0.51656901137451-π/2
    1.03313802274902-1.57079632675     		φ = -0.53765830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43042542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.661560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53765830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.805551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74515 KachelY 77335 0.43042542 -0.53765830 24.661560 -30.805551
    Oben rechts KachelX + 1 74516 KachelY 77335 0.43047336 -0.53765830 24.664307 -30.805551
    Unten links KachelX 74515 KachelY + 1 77336 0.43042542 -0.53769948 24.661560 -30.807911
    Unten rechts KachelX + 1 74516 KachelY + 1 77336 0.43047336 -0.53769948 24.664307 -30.807911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53765830--0.53769948) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dl = 262.357779999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53765830--0.53769948) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dr = 262.357779999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43042542-0.43047336) × cos(-0.53765830) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858910280868197 × 6371000     		do = 262.333308127909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43042542-0.43047336) × cos(-0.53769948) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858889190787656 × 6371000     		du = 262.326866674453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53765830)-sin(-0.53769948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858910280868197-0.858889190787656)×R²
    abs(0.43047336-0.43042542)×2.10900805409642e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10900805409642e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10900805409642e-05×40589641000000     		ar = 68824.3393674606m²