Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74512 / 55024
↖ ↑ ↗
← N 27.722436°
E 24.653320°		 ← 270.37 m → N 27.722436°
E 24.656067°		 →
↑
270.32 m
↓
↑
270.32 m
↓
N 27.720005°
E 24.653320°		 ← 270.37 m →
73 087 m²		 N 27.720005°
E 24.656067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568485260009766 y=0.419803619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568485260009766 × 217)
    floor (0.568485260009766 × 131072)
    floor (74512.5)     		tx = 74512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419803619384766 × 217)
    floor (0.419803619384766 × 131072)
    floor (55024.5)     		ty = 55024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74512 / 55024 ti = "17/74512/55024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74512/55024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74512 ÷ 217
    74512 ÷ 131072     		x = 0.5684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55024 ÷ 217
    55024 ÷ 131072     		y = 0.4197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5684814453125 × 2 - 1) × π
    0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4197998046875 × 2 - 1) × π
    0.160400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.50391268880603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43028161} λ = 0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50391268880603))-π/2
    2×atan(1.65518484068325)-π/2
    2×1.02732205512069-π/2
    2.05464411024137-1.57079632675     		φ = 0.48384778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48384778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.722436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74512 KachelY 55024 0.43028161 0.48384778 24.653320 27.722436
    Oben rechts KachelX + 1 74513 KachelY 55024 0.43032955 0.48384778 24.656067 27.722436
    Unten links KachelX 74512 KachelY + 1 55025 0.43028161 0.48380535 24.653320 27.720005
    Unten rechts KachelX + 1 74513 KachelY + 1 55025 0.43032955 0.48380535 24.656067 27.720005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48384778-0.48380535) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dl = 270.321529999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48384778-0.48380535) × R
    4.24299999999822e-05 × 6371000     		dr = 270.321529999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43028161-0.43032955) × cos(0.48384778) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.885211536333592 × 6371000     		do = 270.36638854136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43028161-0.43032955) × cos(0.48380535) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.885231273493728 × 6371000     		du = 270.3724167781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48384778)-sin(0.48380535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885211536333592-0.885231273493728)×R²
    abs(0.43032955-0.43028161)×1.97371601353691e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97371601353691e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97371601353691e-05×40589641000000     		ar = 73086.6706031155m²