Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74512 / 54544
↖ ↑ ↗
← N 28.883159°
E 24.653320°		 ← 267.43 m → N 28.883159°
E 24.656067°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
N 28.880755°
E 24.653320°		 ← 267.44 m →
71 510 m²		 N 28.880755°
E 24.656067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568485260009766 y=0.416141510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568485260009766 × 217)
    floor (0.568485260009766 × 131072)
    floor (74512.5)     		tx = 74512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416141510009766 × 217)
    floor (0.416141510009766 × 131072)
    floor (54544.5)     		ty = 54544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74512 / 54544 ti = "17/74512/54544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74512/54544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74512 ÷ 217
    74512 ÷ 131072     		x = 0.5684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54544 ÷ 217
    54544 ÷ 131072     		y = 0.4161376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5684814453125 × 2 - 1) × π
    0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4161376953125 × 2 - 1) × π
    0.167724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.526922400623657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43028161} λ = 0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.526922400623657))-π/2
    2×atan(1.69371171317636)-π/2
    2×1.03745128017172-π/2
    2.07490256034344-1.57079632675     		φ = 0.50410623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50410623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.883159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74512 KachelY 54544 0.43028161 0.50410623 24.653320 28.883159
    Oben rechts KachelX + 1 74513 KachelY 54544 0.43032955 0.50410623 24.656067 28.883159
    Unten links KachelX 74512 KachelY + 1 54545 0.43028161 0.50406426 24.653320 28.880755
    Unten rechts KachelX + 1 74513 KachelY + 1 54545 0.43032955 0.50406426 24.656067 28.880755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50410623-0.50406426) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dl = 267.390869999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50410623-0.50406426) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dr = 267.390869999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43028161-0.43032955) × cos(0.50410623) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87560653738905 × 6371000     		do = 267.432774631022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43028161-0.43032955) × cos(0.50406426) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875626809178895 × 6371000     		du = 267.438966157437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50410623)-sin(0.50406426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87560653738905-0.875626809178895)×R²
    abs(0.43032955-0.43028161)×2.02717898456495e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02717898456495e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02717898456495e-05×40589641000000     		ar = 71509.9100643202m²