Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74512 / 53489
↖ ↑ ↗
← N 31.388813°
E 24.653320°		 ← 260.73 m → N 31.388813°
E 24.656067°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
N 31.386468°
E 24.653320°		 ← 260.73 m →
67 973 m²		 N 31.386468°
E 24.656067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568485260009766 y=0.408092498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568485260009766 × 217)
    floor (0.568485260009766 × 131072)
    floor (74512.5)     		tx = 74512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408092498779297 × 217)
    floor (0.408092498779297 × 131072)
    floor (53489.5)     		ty = 53489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74512 / 53489 ti = "17/74512/53489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74512/53489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74512 ÷ 217
    74512 ÷ 131072     		x = 0.5684814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53489 ÷ 217
    53489 ÷ 131072     		y = 0.408088684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5684814453125 × 2 - 1) × π
    0.136962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.43028161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408088684082031 × 2 - 1) × π
    0.183822631835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.577495829722816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43028161} λ = 0.43028161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577495829722816))-π/2
    2×atan(1.78157148173267)-π/2
    2×1.05931723031126-π/2
    2.11863446062252-1.57079632675     		φ = 0.54783813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43028161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54783813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.388813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74512 KachelY 53489 0.43028161 0.54783813 24.653320 31.388813
    Oben rechts KachelX + 1 74513 KachelY 53489 0.43032955 0.54783813 24.656067 31.388813
    Unten links KachelX 74512 KachelY + 1 53490 0.43028161 0.54779721 24.653320 31.386468
    Unten rechts KachelX + 1 74513 KachelY + 1 53490 0.43032955 0.54779721 24.656067 31.386468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54783813-0.54779721) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54783813-0.54779721) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43028161-0.43032955) × cos(0.54783813) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853652510805482 × 6371000     		do = 260.727449815753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43028161-0.43032955) × cos(0.54779721) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853673822984772 × 6371000     		du = 260.733959103884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54783813)-sin(0.54779721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853652510805482-0.853673822984772)×R²
    abs(0.43032955-0.43028161)×2.13121792908e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13121792908e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13121792908e-05×40589641000000     		ar = 67972.8388267728m²