Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74511 / 55025
↖ ↑ ↗
← N 27.720005°
E 24.650573°		 ← 270.37 m → N 27.720005°
E 24.653320°		 →
↑
270.39 m
↓
↑
270.39 m
↓
N 27.717573°
E 24.650573°		 ← 270.38 m →
73 106 m²		 N 27.717573°
E 24.653320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568477630615234 y=0.419811248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568477630615234 × 217)
    floor (0.568477630615234 × 131072)
    floor (74511.5)     		tx = 74511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419811248779297 × 217)
    floor (0.419811248779297 × 131072)
    floor (55025.5)     		ty = 55025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74511 / 55025 ti = "17/74511/55025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74511/55025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74511 ÷ 217
    74511 ÷ 131072     		x = 0.568473815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55025 ÷ 217
    55025 ÷ 131072     		y = 0.419807434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568473815917969 × 2 - 1) × π
    0.136947631835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.43023367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419807434082031 × 2 - 1) × π
    0.160385131835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.50386475190641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43023367} λ = 0.43023367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.50386475190641))-π/2
    2×atan(1.65510549815542)-π/2
    2×1.02730083773588-π/2
    2.05460167547176-1.57079632675     		φ = 0.48380535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43023367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.650573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48380535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.720005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74511 KachelY 55025 0.43023367 0.48380535 24.650573 27.720005
    Oben rechts KachelX + 1 74512 KachelY 55025 0.43028161 0.48380535 24.653320 27.720005
    Unten links KachelX 74511 KachelY + 1 55026 0.43023367 0.48376291 24.650573 27.717573
    Unten rechts KachelX + 1 74512 KachelY + 1 55026 0.43028161 0.48376291 24.653320 27.717573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48380535-0.48376291) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dl = 270.385240000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48380535-0.48376291) × R
    4.24400000000325e-05 × 6371000     		dr = 270.385240000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43023367-0.43028161) × cos(0.48380535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885231273493728 × 6371000     		do = 270.372416777787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43023367-0.43028161) × cos(0.48376291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.885251013711313 × 6371000     		du = 270.378445948351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48380535)-sin(0.48376291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885231273493728-0.885251013711313)×R²
    abs(0.43028161-0.43023367)×1.97402175851069e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97402175851069e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97402175851069e-05×40589641000000     		ar = 73105.5259102076m²