Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74510 / 77183
↖ ↑ ↗
← S 30.446306°
E 24.647827°		 ← 263.25 m → S 30.446306°
E 24.650573°		 →
↑
263.31 m
↓
↑
263.31 m
↓
S 30.448674°
E 24.647827°		 ← 263.25 m →
69 317 m²		 S 30.448674°
E 24.650573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568470001220703 y=0.588863372802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568470001220703 × 217)
    floor (0.568470001220703 × 131072)
    floor (74510.5)     		tx = 74510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588863372802734 × 217)
    floor (0.588863372802734 × 131072)
    floor (77183.5)     		ty = 77183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74510 / 77183 ti = "17/74510/77183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74510/77183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74510 ÷ 217
    74510 ÷ 131072     		x = 0.568466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77183 ÷ 217
    77183 ÷ 131072     		y = 0.588859558105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568466186523438 × 2 - 1) × π
    0.136932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43018574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588859558105469 × 2 - 1) × π
    -0.177719116210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.558321069874794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43018574} λ = 0.43018574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.558321069874794))-π/2
    2×atan(0.572168889468512)-π/2
    2×0.519704022175336-π/2
    1.03940804435067-1.57079632675     		φ = -0.53138828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43018574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.647827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53138828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.446306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74510 KachelY 77183 0.43018574 -0.53138828 24.647827 -30.446306
    Oben rechts KachelX + 1 74511 KachelY 77183 0.43023367 -0.53138828 24.650573 -30.446306
    Unten links KachelX 74510 KachelY + 1 77184 0.43018574 -0.53142961 24.647827 -30.448674
    Unten rechts KachelX + 1 74511 KachelY + 1 77184 0.43023367 -0.53142961 24.650573 -30.448674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53138828--0.53142961) × R
    4.13299999999506e-05 × 6371000     		dl = 263.313429999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53138828--0.53142961) × R
    4.13299999999506e-05 × 6371000     		dr = 263.313429999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43018574-0.43023367) × cos(-0.53138828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.862104417460158 × 6371000     		do = 263.253954987763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43018574-0.43023367) × cos(-0.53142961) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.862083473545203 × 6371000     		du = 263.247559511376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53138828)-sin(-0.53142961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862104417460158-0.862083473545203)×R²
    abs(0.43023367-0.43018574)×2.09439149553292e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09439149553292e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09439149553292e-05×40589641000000     		ar = 69317.4598512603m²