Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74510 / 53439
↖ ↑ ↗
← N 31.505971°
E 24.647827°		 ← 260.35 m → N 31.505971°
E 24.650573°		 →
↑
260.38 m
↓
↑
260.38 m
↓
N 31.503629°
E 24.647827°		 ← 260.35 m →
67 791 m²		 N 31.503629°
E 24.650573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568470001220703 y=0.407711029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568470001220703 × 217)
    floor (0.568470001220703 × 131072)
    floor (74510.5)     		tx = 74510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407711029052734 × 217)
    floor (0.407711029052734 × 131072)
    floor (53439.5)     		ty = 53439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74510 / 53439 ti = "17/74510/53439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74510/53439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74510 ÷ 217
    74510 ÷ 131072     		x = 0.568466186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53439 ÷ 217
    53439 ÷ 131072     		y = 0.407707214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568466186523438 × 2 - 1) × π
    0.136932373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.43018574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407707214355469 × 2 - 1) × π
    0.184585571289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.579892674703819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43018574} λ = 0.43018574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579892674703819))-π/2
    2×atan(1.78584675393257)-π/2
    2×1.06033962766085-π/2
    2.1206792553217-1.57079632675     		φ = 0.54988293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43018574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.647827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54988293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.505971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74510 KachelY 53439 0.43018574 0.54988293 24.647827 31.505971
    Oben rechts KachelX + 1 74511 KachelY 53439 0.43023367 0.54988293 24.650573 31.505971
    Unten links KachelX 74510 KachelY + 1 53440 0.43018574 0.54984206 24.647827 31.503629
    Unten rechts KachelX + 1 74511 KachelY + 1 53440 0.43023367 0.54984206 24.650573 31.503629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54988293-0.54984206) × R
    4.08699999999707e-05 × 6371000     		dl = 260.382769999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54988293-0.54984206) × R
    4.08699999999707e-05 × 6371000     		dr = 260.382769999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43018574-0.43023367) × cos(0.54988293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.852585707211169 × 6371000     		do = 260.347302303147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43018574-0.43023367) × cos(0.54984206) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.852607064646969 × 6371000     		du = 260.353824053099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54988293)-sin(0.54984206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852585707211169-0.852607064646969)×R²
    abs(0.43023367-0.43018574)×2.13574358005619e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13574358005619e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13574358005619e-05×40589641000000     		ar = 67790.8008206261m²