Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7451 / 3404
↖ ↑ ↗
← N 71.883578°
W 16.281738°		 ← 759.71 m → N 71.883578°
W 16.259766°		 →
↑
759.87 m
↓
↑
759.87 m
↓
N 71.876745°
W 16.281738°		 ← 759.99 m →
577 389 m²		 N 71.876745°
W 16.259766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454803466796875 y=0.207794189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454803466796875 × 214)
    floor (0.454803466796875 × 16384)
    floor (7451.5)     		tx = 7451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207794189453125 × 214)
    floor (0.207794189453125 × 16384)
    floor (3404.5)     		ty = 3404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7451 / 3404 ti = "14/7451/3404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7451/3404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7451 ÷ 214
    7451 ÷ 16384     		x = 0.45477294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3404 ÷ 214
    3404 ÷ 16384     		y = 0.207763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45477294921875 × 2 - 1) × π
    -0.0904541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28416994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207763671875 × 2 - 1) × π
    0.58447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83617500304663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28416994} λ = -0.28416994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83617500304663))-π/2
    2×atan(6.27250002376142)-π/2
    2×1.41270072312582-π/2
    2.82540144625163-1.57079632675     		φ = 1.25460512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28416994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.281738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25460512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.883578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7451 KachelY 3404 -0.28416994 1.25460512 -16.281738 71.883578
    Oben rechts KachelX + 1 7452 KachelY 3404 -0.28378645 1.25460512 -16.259766 71.883578
    Unten links KachelX 7451 KachelY + 1 3405 -0.28416994 1.25448585 -16.281738 71.876745
    Unten rechts KachelX + 1 7452 KachelY + 1 3405 -0.28378645 1.25448585 -16.259766 71.876745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25460512-1.25448585) × R
    0.000119269999999894 × 6371000     		dl = 759.869169999322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25460512-1.25448585) × R
    0.000119269999999894 × 6371000     		dr = 759.869169999322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28416994--0.28378645) × cos(1.25460512) × R
    0.000383489999999986 × 0.3109488462562 × 6371000     		do = 759.714820106556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28416994--0.28378645) × cos(1.25448585) × R
    0.000383489999999986 × 0.311062201430674 × 6371000     		du = 759.991771145355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25460512)-sin(1.25448585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3109488462562-0.311062201430674)×R²
    abs(-0.28378645--0.28416994)×0.000113355174474583×R²
    0.000383489999999986×0.000113355174474583×6371000²
    0.000383489999999986×0.000113355174474583×40589641000000     		ar = 577389.093752597m²