Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7451 / 2845
↖ ↑ ↗
← N 81.471150°
W 98.140869°		 ← 181.18 m → N 81.471150°
W 98.129883°		 →
↑
181.19 m
↓
↑
181.19 m
↓
N 81.469521°
W 98.140869°		 ← 181.21 m →
32 831 m²		 N 81.469521°
W 98.129883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.227401733398438 y=0.0868377685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.227401733398438 × 215)
    floor (0.227401733398438 × 32768)
    floor (7451.5)     		tx = 7451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0868377685546875 × 215)
    floor (0.0868377685546875 × 32768)
    floor (2845.5)     		ty = 2845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7451 / 2845 ti = "15/7451/2845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7451/2845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7451 ÷ 215
    7451 ÷ 32768     		x = 0.227386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2845 ÷ 215
    2845 ÷ 32768     		y = 0.086822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.227386474609375 × 2 - 1) × π
    -0.54522705078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.71288130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086822509765625 × 2 - 1) × π
    0.82635498046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.59607073582376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71288130} λ = -1.71288130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59607073582376))-π/2
    2×atan(13.4109392495811)-π/2
    2×1.49636807255711-π/2
    2.99273614511423-1.57079632675     		φ = 1.42193982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71288130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.140869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42193982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.471150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7451 KachelY 2845 -1.71288130 1.42193982 -98.140869 81.471150
    Oben rechts KachelX + 1 7452 KachelY 2845 -1.71268955 1.42193982 -98.129883 81.471150
    Unten links KachelX 7451 KachelY + 1 2846 -1.71288130 1.42191138 -98.140869 81.469521
    Unten rechts KachelX + 1 7452 KachelY + 1 2846 -1.71268955 1.42191138 -98.129883 81.469521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42193982-1.42191138) × R
    2.84399999999074e-05 × 6371000     		dl = 181.19123999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42193982-1.42191138) × R
    2.84399999999074e-05 × 6371000     		dr = 181.19123999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71288130--1.71268955) × cos(1.42193982) × R
    0.000191750000000157 × 0.148307382010079 × 6371000     		do = 181.178118928405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71288130--1.71268955) × cos(1.42191138) × R
    0.000191750000000157 × 0.148335507441037 × 6371000     		du = 181.212478058787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42193982)-sin(1.42191138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148307382010079-0.148335507441037)×R²
    abs(-1.71268955--1.71288130)×2.8125430958148e-05×R²
    0.000191750000000157×2.8125430958148e-05×6371000²
    0.000191750000000157×2.8125430958148e-05×40589641000000     		ar = 32831.0008180828m²